3. Парабола. Параболой мы назвали линию, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется канони­ческим уравнением

(15) при условии

Из уравнения (15) вытекает, что для всех точек параболы Парабола проходит через начало канонической системы координат. Эта точка называется вершиной параболы.

Форма параболы известна из курса средней школы, где она встре­чается в качестве графика функции. Отличие уравнений объ­ясняется тем, что в канонической системе координат по сравнению с прежней оси координат поменялись местами, а коэффициенты связа­ны равенством

Фокусом параболы называется точка F с координатами (р/2,0) в канонической системе координат.

Директрисой параболы называется прямая с уравнением х = —р/2 в канонической системе координат (PQ на рис. 37).

Предложение 13. Расстояние от точки М(х,у), лежащей на параболе, до фокуса равно

(16)

Для доказательства вычислим квадрат расстояния от точки М(х, у) до фокуса по координатам этих точек и подставим сюдаиз канони­ческого уравнения параболы. Мы получаем

Отсюда в силуследует равенство (16).

Заметим, что расстояние от точки М до ди­ректрисы по формуле (9) также равно

Отсюда вытекает необходимость следующего условия.

Предложение 14. Для того чтобы точ­ка М лежала на параболе, необходимо и достаточно, чтобы она была одинаково удалена от фокуса и от директрисы этой параболы.

Докажем достаточность. Пусть точка М(х,у) одинаково удалена от фокуса и от директрисы параболы:

Возводя это уравнение в квадрат и приводя в нем подобные чле­ны, мы получаем из него уравнение параболы (15). Это заканчивает доказательство.

Параболе приписывается эксцентриситет В силу этого со­глашения формула верна и для эллипса, и для гиперболы, и для параболы.

Выведем уравнение касательной к параболе в точкеле­жащей на ней. ПустьЧерез точкупроходит график функ­ции целиком лежащий на параболе. (Этоили жесмотря по знаку.) Для функциивыполнено тож­дестводифференцируя которое имеем

Подставляя и , находим .Теперь мы

можем написать уравнение касательной к параболе

Упростим его. Для этого раскроем скобки и вспомним, что Теперь уравнение касательной принимает окончательный вид

Y*y0 = p(x + x0). (17)

Заметим, что для вершины параболы, которую мы исключили, положивуравнение (17) превращается в уравнение х = 0, т. е.

в уравнение касательной в вершине. Поэтому уравнение (17) справед­ливо для любой точки на параболе.

Предложение 15. Касательная к параболе в точке есть биссектриса угла, смежного с углом между отрезком, который соединяетс фокусом, и лу­чом., выходящим из этой точки в направ­лении оси параболы (рис. 38).

Доказательство

Рассмотрим ка­сательную в точке Из урав­нения (17) получаем ее направляющий вектор Значит, и Вектор имеет компоненты а потому

Но Следовательно, Это заканчивает

доказательство.

Заметим, что(см. рис. 38).

Комментарии