20. Теорема об обратной ф-ции.
Если функция непрерывна и строго возрастает на отрезке , то на отрезке определена функция , обратная к f, непрерывная и строго возрастающая.
Существование обратной функции.
Обозначим . Так как f — возрастающая функция, то для всех выполняется неравенство , где , , и в силу непрерывности f (следствие из теоремы 6) множество значений функции
Согласно определению обратной функции (§ 9, п. 9) нужно доказать, что для каждого уравнение
(25)
имеет единственный корень , причем .
Существование хотя бы одного корня уравнения (25) следует из теоремы 6. Докажем, что уравнение (25) имеет на отрезке [a,b] единственный корень.
Предположим, что наряду с корнем уравнение (25) имеет еще один корень , где; тогда , тогда .
Пусть, например, . Тогда в силу строгого возрастания функции f на отрезке [a,b] выполняется неравенство . С другой стороны, 0. Отсюда следует, что неравенство не может выполняться. Следовательно, . Существование обратной функции доказано, т. е. на отрезке определена функция, обратная к f, причем и
Монотонность обратной функции. Докажем, что — строго возрастающая на отрезке функция, т. е.
(27)
Предположим противное; тогда условие (27) не выполняется, т. е.
(28).
Обозначим , , тогда в силу (28) и , согласно равенству (26).
Так как f — строго возрастающая функция, то из неравенства следует неравенство , т. е. , что невозможно, так как в силу (28). Таким образом, утверждение (28) не может выполняться, и поэтому g(y) — строго возрастающая функция.
Непрерывность обратной ф-ции.
Непрерывность обратной функции. Пусть — произвольная точка интервала (A,B). Докажем, что функция g непрерывна в точке . Для этого достаточно показать, что справедливы равенства
(29)
где и пределы функции g соответственно слева
и справа в точке .
По теореме о пределах монотонной функции (§ 10) пределы функции g слева и справа в точке существуют и выполняются неравенства
Пусть хотя бы одно из равенств (29) не выполняется, например, , тогда
Так как для всех выполняется неравенство , где а при всех справедливо неравенство , то из условия (31) следует, что
интервалне принадлежит множеству значений
функции g. Это противоречит тому, что все точки отрезка [a,b], в том числе и точки интервала , принадлежат множеству E(g). Итак, первое из равенств (29) доказано. Аналогично доказывается справедливость второго из равенств (29).
Тем же способом устанавливается, что функция g непрерывна справа в точке A и непрерывна слева в точке B.
Замечание 6. Если функция f непрерывна и строго убывает на отрезке [a,b], то обратная к ней функция g непрерывна и строго убывает на отрезке
Замечание 7. Аналогично формулируется и доказывается теорема о функции g, обратной к функции f, для случаев, когда функция f задана на интервале (конечном либо бесконечном) и полуинтервале.
Если функция f определена, строго возрастает и непрерывна на интервале (a,b), то обратная функция g определена, строго возрастает и непрерывна на интервале (A,B), где , .