Связь потенциальности с обращением в нуль роторного поля.

Теорема 3. Для того чтобы непрерывно дифференцируемое в области G поле а было потенциальным, необходимо, а в случае поверхностно односвязной области и достаточно, чтобы поле было безвихревым, т. е. rot a = 0.

Предварительно условимся называть область G поверхностно односвязной если на любой простой кусочно гладкий контур можно натянуть кусочно гладкую поверхность. Например, пространство, из которого удалена одна точка, — поверхностно односвязная область, но то же пространство, из которого удалена целая прямая, не является поверхностно односвязной областью.

• Необходимость. Пусть а = U. Тогда

rot a = rot U = = 0.

• Достаточность. Пусть rot a = 0 в G. Возьмем произвольную замкнутую простую ломаную . Так как область поверхностно односвязна, то на эту ломаную можно натянуть кусочно гладкую поверхность . Применяя формулу Стокса, получаем

(a, dr) = (rot a, n)dS = 0.

Как и в плоском случае, индукцией по числу звеньев ломаной теперь можно доказать, что(a, dr) = 0 по любой ломаной L (не обязательно простой). В силу теоремы 2 существует потенциал U(M).

Комментарии