Локальный экстремум и теорема Ферма.
Пусть
существует число
>0
такое, что функция f(x)
определена в
-окрестности
точки
,
то есть на множестве
()=(
-
,+),
и пусть для всех
выполняется неравенство f(x)
f()
(1). Тогда говорят, что функция f(x)
имеет в точке
локальный
минимум .
Аналогично,
если существует число
>0
такое, что функция f(x)
определена в
-окрестности
точки
,
то есть на множестве()=(
-,+),
и пусть для всех
выполняется неравенство f(x)
f()
(2). Тогда говорят, что функция f(x)
имеет в точке
локальный
максимум.
Локальный минимум и локальный максимум объединяются общим термином локальный экстремум.
Теорема
Ферма. Если функция f(x)
имеет локальный экстремум в точке
и дифференцируема в этой точке, то f
’()=0.
(3)
Пусть,
например, функция f(x)
имеет локальный минимум в точке
,
тогда в силу (1) для всех 
выполняется неравенство
f(x)
f()
(4)
Если
,
то х-<0,
и из условия (4) следует, что
(5)
А если
,
то выполняется неравенство
(6)
Так как
функция f
дифференцируема в точке
,
то существует предел х
в левой части неравенства (5), равный f
’_()=f
’().
По свойствам пределов из (5) следует, что
f
’()0
(7)
Аналогично, переходя к пределу в неравенстве (6), получаем
f
’()
(8)
Из
неравенств (7) и (8) следует, что f
’()=0.
