Система Orphus

Система Orphus

Достаточные условия монотонности, достаточные условия локального экстремума в терминах первой и второй производной.

Достаточное условие монотонности функции.

Теорема 2. Если для всех выполняется условие

,

то функция f(x) строго возрастает на интервале (a,b), а если для всех справедливо неравенство

,

то функция f(x) строго убывает на интервале (a,b).


Ограничимся доказательством теоремы для случая, когда выполняется первое условие. Пусть и - произвольные точки интервала (a,b) такие, что По теореме Лагранжа

, где .

Отсюда и из первого условия Теоремы 2 следует, что . Это означает, что функция f(x) строго возрастает на интервале (a,b).

Замечание 1. Условие не является необходимым для строгого возрастания функции. Пример .


Теорема 3. Если функция f(x) непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале (a,b) и удовлетворяет условию , то эта функция строго убывает на отрезке .


Теорема 3, как и теорема 2, доказывается с помощью формулы конечных приращений Лагранжа.


Теорема 4. Если , то функция f(x) строго возрастает в точке , а если , то функция f(x) строго убывает в точке .


Пусть, например, . Из определения производной следует, что по заданному числу можно найти такое, что для всех выполняется неравенство , откуда следует утверждение , .

Аналогично доказывается случай .


Достаточные условия локального экстремума в терминах первой и второй производной.

Теорема 5 (первое достаточное условие строгого экстремума).

Пусть функция f(x) дифференцируема в некоторой окрестности точки , и непрерывна в точке .

Тогда:

  1. если меняет знак с минуса на плюс при переходе через точку , т.е. существует такое, что

,

,

то – точка строгого минимума функции f.

  1. если меняет знак с плюса на минус при переходе через точку , то - точка строгого максимума функции f.


Пусть функция меняет знак с минуса на плюс при переходе через точку , тогда выполняется условие а) Теоремы 5.

Если xпроизвольная точка интервала , то функция f дифференцируема на интервале и непрерывна на отрезке . По теореме Лагранжа

,

где , так как и . Отсюда следует, что

Аналогично, применяя теорему Лагранжа к функции f(x) на отрезке , где , получаем, что

Из двух последних условий следует утверждение:

Это означает, что – точка строгого минимума функции f(x).

Аналогично рассматривается случай строгого максимума.

Замечание 3. Если – точка строгого экстремума функции f(x), то из этого не следует, что функция меняет знак при переходе через .


Теорема 6 (второе достаточное условие строгого экстремума)

Пусть - стационарная точка функции f(x), т.е.

,

И пусть существует .

Тогда:

а) если , то – точка строгого минимума функции f(x);

б) если , то – точка строгого максимума функции f(x).


Если , то по теореме о монотонности функции, функция является возрастающей в точке , т.е. существует такое, что

,

,

откуда следует, что меняет знак с минуса на плюс при переходе через точку . Согласно Теореме 5 точка – точка строгого минимума функции f(x). Аналогично рассматривается случай .

Замечание 4. Если и , то в точке функция f может иметь экстремум , а может и не иметь . Следующая теорема дает достаточные условия экстремума для случая .

Теорема 7(третье достаточное условие строгого экстремума).

Пусть существует , где n>2 и выполняются условия

Тогда:

а) если n – четное число, то – точка экстремума функции f(x), а именно точка строгого максимума в случае и точка строгого минимума в случае

б) если n – нечетное число, то не является точкой экстремума функции f(x).


Используя локальную формулу Тейлора для функции f(x) в окрестности точки и условия получаем

Из условия следует, что предыдущее неравенство можно записать в виде

(20)

Где при так как при Поэтому откуда следует, что

для (21)

Из равенства (20) в силу условия (21) получаем

(22)

а) Пусть n – четное число (n=2k), тогда

и из равенства (22) получаем

Если то для выполняется неравенство

Это означает, что – точка строгого минимума функции f(x).

Аналогично, если то

т.е. – точка строгого максимума функции f(x).

б) Пусть n=2k+1, тогда из формулы (22) следует, что разность меняет знак при переходе через точку , так как функция меняет знак при переходе через точку . Это означает, что не является точкой экстремума функции f(x).


Система Orphus

Комментарии