Сказать "Спасибо"
Достаточные условия монотонности, достаточные условия локального экстремума в терминах первой и второй производной.
Достаточное условие монотонности функции.
Теорема
2.
Если
для всех
выполняется условие
,
то
функция f(x)
строго возрастает на интервале (a,b),
а если для всех
справедливо неравенство
,
то функция f(x) строго убывает на интервале (a,b).
Ограничимся
доказательством теоремы для случая, когда выполняется первое условие.
Пусть
и
- произвольные
точки интервала (a,b)
такие,
что
По теореме Лагранжа
,
где
.
Отсюда
и из первого условия Теоремы 2 следует, что
.
Это означает, что функция f(x)
строго возрастает на интервале (a,b).
Замечание
1. Условие
не является необходимым для строгого возрастания функции. Пример
.
Теорема
3.
Если
функция f(x)
непрерывна на отрезке
,
дифференцируема на интервале (a,b)
и удовлетворяет условию
,
то эта функция строго убывает на отрезке
.
Теорема 3, как и теорема 2, доказывается с помощью формулы конечных приращений Лагранжа.
Теорема
4.
Если
,
то функция f(x)
строго возрастает в точке
,
а если
,
то функция f(x)
строго убывает в точке
.
Пусть,
например,
.
Из определения производной следует, что по заданному числу
можно найти
такое, что для всех
выполняется неравенство
,
откуда следует утверждение
,
.
Аналогично
доказывается случай
.
Достаточные условия локального экстремума в терминах первой и второй производной.
Теорема 5 (первое достаточное условие строгого экстремума).
Пусть
функция f(x)
дифференцируема в некоторой окрестности точки
,
и непрерывна в точке
.
Тогда:
если
меняет знак с минуса на плюс при переходе через точку
,
т.е. существует
такое, что
,
,
то
– точка строгого минимума функции f.
если
меняет знак с плюса на минус при переходе через точку
, то
- точка строгого максимума функции f.
Пусть
функция
меняет знак с минуса на плюс при переходе через точку
,
тогда выполняется условие а) Теоремы 5.
Если
x
– произвольная
точка интервала
,
то функция f
дифференцируема на интервале
и
непрерывна на отрезке
.
По теореме Лагранжа
,
где
,
так как
и
.
Отсюда следует, что
Аналогично,
применяя теорему Лагранжа к функции f(x)
на
отрезке
,
где
,
получаем, что
Из двух последних условий следует утверждение:
Это
означает, что
– точка строгого минимума функции f(x).
Аналогично рассматривается случай строгого максимума.
Замечание
3.
Если
– точка строгого экстремума функции f(x),
то из этого не следует, что функция
меняет знак при переходе через
.
Теорема 6 (второе достаточное условие строгого экстремума)
Пусть
- стационарная точка функции f(x),
т.е.
,
И
пусть существует
.
Тогда:
а)
если
,
то
– точка строгого минимума функции f(x);
б)
если
,
то
– точка строгого максимума функции f(x).
Если
,
то по теореме о монотонности функции, функция
является возрастающей в точке
,
т.е. существует
такое, что
,
,
откуда
следует, что
меняет знак с минуса на плюс при переходе через точку
.
Согласно Теореме 5 точка
– точка строгого минимума функции f(x).
Аналогично рассматривается случай
.
Замечание
4.
Если
и
,
то в точке
функция f
может иметь экстремум
,
а может и не иметь
.
Следующая теорема дает достаточные условия экстремума для случая
.
Теорема 7(третье достаточное условие строгого экстремума).
Пусть
существует
,
где
n>2
и выполняются условия
Тогда:
а)
если n
– четное число, то
– точка экстремума функции f(x),
а именно точка строгого максимума в случае
и точка строгого минимума в случае
б)
если n
– нечетное число, то
не является точкой экстремума функции f(x).
Используя
локальную формулу Тейлора для функции f(x)
в окрестности точки
и условия
получаем
Из
условия
следует, что предыдущее неравенство можно записать в виде
(20)
Где
при
так как
при
Поэтому
откуда следует, что
для
(21)
Из равенства (20) в силу условия (21) получаем
(22)
а) Пусть n – четное число (n=2k), тогда
и из равенства (22) получаем
Если
то для
выполняется неравенство
Это
означает, что
– точка строгого минимума функции f(x).
Аналогично,
если
то
т.е.
– точка строгого максимума функции f(x).
б)
Пусть n=2k+1,
тогда из формулы (22) следует, что разность
меняет знак при переходе через точку
,
так как функция
меняет знак при переходе через точку
.
Это означает, что
не является точкой экстремума функции f(x).
