Операция "Раздолбай"
- № 46 Разложение в степенной ряд
ln(1+x).
-
Пусть f(x)=ln(1+x).
Тогда
-
- (21)
-
откуда находим
- (22)
-
- ○ Оценим остаточный
член,при
пользуясь формулой
(t)dt
(9)(остаточный член ф-лы
Тейлора для функции f
в точке
в интегральной форме) .Преобразуем
эту формулу ,полагая
.Тогда
,и
формула (9) примет вид
(23)-
Если f(x)=ln(1+x)
,то по формуле (23) , используя
равенство (21),получаем :
-
(24)
-
Пусть
.
Тогда справедливы неравенства
- (25)
-
(26)
-
так как.Отсюда
следует ,что при любом
выполняется
неравенство
-
(27)
-
Используя неравенство (27), из формулы
(24) получаем следующую оценку остаточного члена :
-
-
откуда следует ,что
при
,
если |x|<1.
-
Пусть x=1
. Тогда
,
,
,
так как
-
- Поэтому из формулы (24) следует
,что
,
откуда плучаем
при
.
-
- Итак ,если
,
то остаточный член
для
функции f(x)=ln(1+x) стремится
к 0 , при , т. е. ряд Маклорена сходится к f(x).●
-
Из формулы
(ряд
Маклорена) и (22) , получаем разложение функции
- ln(1+x)
в ряд Маклорена :
-
(28)
радиус сходимости которого R=1.
-
Формула (28)
справедлива и при x=1 , и поэтому
- =1–
-
Заменяя в формуле (28) x
на (–x)
, получаем
- (29).
-
- .
-