12)Критерий Коши и признак Вейерштрасса равномерной сходимости интеграллов зависящих от параметра.

Критерий Коши

Для того чтобы несобственный интеграл сходился равномерно на $Y$ , необходимо и достаточно выполнения условия Коши:

$\mathcal{8} \varepsilon > 0~~ \mathcal{9}\eta \in [a,b) : \sup_{y \in Y}\left|\int_{\eta'}^{\eta''}f(x,y)dx\right| < \varepsilon~~~\mathcal{8} \eta', \eta'' \in [\eta_\varepsilon,b)$

Необходимость Доказательство

$\left|\int_{\eta'}^{\eta''}f(x,y)dx\right|=\left|\int_{\eta'}^{b}f(x,y)dx-\int_{\eta''}^bf(x,y)dx\right|\leqslant \left|\int_{\eta'}^{b}f(x,y)dx\right|+\left|\int_{\eta''}^bf(x,y)dx\right| < \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon$

Достаточность Доказательство просто и непринужденно при предельном переходе $\eta'' \to b-0$ в неравенстве $\left|\int_{\eta'}^{\eta''}f(x,y)dx\right| < \varepsilon$

Признак Вейерштрасса, равномерной сходимости несобственного интеграла

$f: [a,b)\times Y\to \mathbb{R},~~~\phi: [a,b)\to \mathbb{R},$ $|f(x,y)|\leqslant \phi(x)$ при $(x,y)\in [a,b)\times Y$

Пусть несобственный интеграл $\int_{a}^{b}\phi(x)dx$ сходится. Тогда несобственный интеграл $\int_{a}^{b}f(x,y)dx$ сходится равномерно на $Y$ .

Доказательство тривиально.

Операция "Раздолбай"

12)Критерий Коши и признак Вейерштрасса равномерной сходимости интеграллов зависящих от параметра.

Комментарии (показать)