Теорема о сходимости ряда Фурье в точке.

$f$ - $2π$ периодическая, абсолютно интегрируемая на отрезке $[ - π,π]$ функция.

Тогда ряд Фурье в этой точке $x 0$ сходится к $\frac{f(x_0+0)+f(x_0-0)}{2}$

Рассмотрим предел

$\lim_{n\rightarrow\infty}\Delta_n=S_n(x;f)-\frac{f(x_0+0)+f(x_0-0)}{2}$

$\Delta_n=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}D_n(t)\left[f(x_0+t)+f(x_0-t)\right]dt\,-\,\frac{f(x_0+0)+f(x_0-0)}{2}\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}D_n(t)dt=$

$=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\left[\frac{f(x_0+t)-f(x_0+0)}{t}+\frac{f(x_0-t)-f(x_0-0)}{t}\right]\frac{t}{2\sin \frac{t}{2}}\left(\sin\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)dt$

Дробь $\frac{t}{2\sin \frac{t}{2}}$ , доопределенная единицей в нуле, является непрерывной на $[ - π,π]$ функцией.

Дробь $\frac{f(x_0+t)-f(x_0+0)}{t}$ абсолютно интегрируема на $[ - π,π]$ функция, поскольку таковой является её числитель, и при $t\rightarrow 0+0$ она имеет конечный предел.

По теореме Римана об осцилляции, последний интеграл стремится к нулю при $n\rightarrow\infty$ , т.е.

$S_n(x_0;f)\rightarrow\frac{f(x_0+0)+f(x_0-0)}{2}$ при $n\rightarrow\infty$

Операция "Раздолбай"

Теорема о сходимости ряда Фурье в точке.

Комментарии (показать)