Теорема 1.

Пусть $D$ - ограниченная область в $\mathbb{R}^n$ . Если решение $u(x,t)$ смешанной задачи для уравнения теплопроводности

$u_t(x,t)-a^2(x,t)\Delta_x u(x,t)=f(x,t),~(x,t)\in G=D\times (0;T)$

с начальными условиями

$u(x,0)=u_0(x),~u_(0)\in C(\bar{D})$

с граничными условиями первого рода

$u(x,t)|_{x\in\partial D}=v(x,t),~v(x,t)\in C(\partial D\times [0;T])$

существует в классе функций $C_{x,t}^{2,1}(G)\cap C(\bar{G})$ , то оно единственно в этом классе и непрерывно зависит от начальных и граничных данных (в равномерной метрике).

Доказательство теоремы 1. Единственность. Пусть $\tilde{u}$ и $\hat{u}$ - решение задачи. Тогда их разность $u=\tilde{u}-\hat{u}$ удовлетворяет однородному уравнению теплопроводности с однородными начальными и граничными условиями:

$u_t(x,t)=a^2(x,t)\Delta_x u_x(x,t),~~(x,t)\in G$ , $u(x,0)=0$ , $u(x,t)|_{x\in\partial D}=0$ .

Согласно принципу максимума в ограниченной области выполняются неравенства

$0\leqslant u(x,t)\leqslant 0~(x,t)\in\bar{G}$

Следовательно $\tilde{u}=\hat{u}$ в $\bar{G}$ .

Непрерывная зависимость. Пусть теперь $\tilde{u}$ и $\hat{u}$ - решение задачи Коши отвечающие различным начально-краевым данным: $\tilde{u_0},\tilde{u_0}$ и $\hat{u_0},\hat{v}$ соответственно. Тогда разность $u=\tilde{u}-\hat{u}$ является решением смешанной задачи для однородного уравнения теплопроводности

$u_t(x,t)=a^2(x,t)\Delta_x u(x,t),~(x,t)\in G$

с начальными условиями

$u(x,0)=\hat{u_0}-\tilde{u_0}$

и граничными условиями

$u(x,t)|_{x\in\partial D}=\tilde{v}(x,t)-\hat{v}(x,t)$ .

Воспользуемся для функции $u$ принципом максимума, получаем оценку

$|\tilde{u}(x,t)-\hat{u}(x,t)|\leqslant \max\left\{\sup_{\bar{D}}|\tilde{u_0}-\hat{u_0},\sup_{\partial D\times [0;T]}|\tilde{v}-\hat{v}|\right\},~~(x,t)\in\bar{G}$ ,

что означает непрерывную зависимость решения от начальных и краевых данных в равномерной метрике. Из принципа единственности максимума в неограниченной области вытекает следующее

Теорема 2.

Если решение задачи Коши

$u_t(x,t)-a^2(x,t)\Delta_x u(x,t)=f(x,t),~(x,t)\in G =\mathbb{R}^n\times (0;T)$ , $u(x,0)=u_0(x),~u_0\in C(\mathbb{R}^n)$

с ограниченными начальными данными $u_0$ существует в классе функций $C_{x,t}^{2,1}(G)\cap C(\bar{G})\cap B(\bar{G})$ , то оно единственно в нем и непрерывно зависит от начальных данных.

Сказать "Спасибо"

Единственность классического решения первой начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности в ограниченной области.

Комментарии