Исследование уравнения второго порядка

В общей декартовой системе координат линия второго порядка может быть задана уравнением

, (1)

в котором коэффициенты А, В и С не равны нулю одновременно. Исследуем множество точек, которые ему удовлетворяют, не предполагая заранее, что хоть одна такая точка существует. С этой целью мы будем менять систему координат так, чтобы уравнение стало возможно проще. С самого начала можно считать систему координат декартовой прямоугольной, так как при переходе к прямоугольной системе координат общий вид уравнения (1) не изменится.

При повороте базиса декартовой прямоугольной системы координат на угол старые координаты точки x, y будут связаны с ее новыми координатами x', у' формулами

х=х' cos — у'sin, у=х'sin + у'cos .

В новых координатах уравнение (1) примет вид

А(х'cos- у'sin)+ 2В(х'cos - у'sin ) ( х'sin + y' cos ) + C(x'sin + y'cos )+ ... = 0.

Здесь многоточием обозначены члены первой степени относительно х',у' и свободный член, которые нет необходимости выписывать. Нас будет интересовать член с произведением х'у' в преобразованном уравнении. В невыписанные члены это произведение не входит, и мы подсчитаем, что половина коэффициента при х'у' есть

В' = —A sin cos + В (cos — sin ) + С sin cos .

Если В = 0, то поворачивать систему координат не будем. Если же В≠0, то выберем угол так, чтобы В' обратилось в нуль.

Это требование приведет к уравнению

2В cos 2 =(A- С) sin 2. (2)

Если А = С, то cos 2 = 0, и можно положить = π/4. Если же А ≠ С, то выбираем = arctg(). Для нас сейчас важно то, что хоть один такой угол обязательно существует. После поворота системы координат на этот угол линия будет иметь уравнение

А'х + С'у + 2D'x' + 2Е'у' + F' = 0. (3)

Выражения для коэффициентов уравнения (3) через коэффициенты (1) подсчитать не трудно, но это не нужно. Теперь коэффициент при произведении переменных равен нулю, а остальные члены мы по-прежнему считаем произвольными.

Сформулируем следующее вспомогательное

Предложение 1. Если в уравнение (3) входит с ненулевым коэффициентом квадрат одной из координат, то при помощи переноса начала координат вдоль соответствующей оси можно обратить в нуль член с первой степенью этой координаты.

В самом деле, пусть, например, А'≠0. Перепишем (3) в виде

А' (х + х' + ) + С'у² + 2Е'у' + F' – = 0.

Если мы сделаем перенос начала координат, определяемый формулами х'' = х' + D'/А', у'' = у', то уравнение приведется к виду

А'х + С'у + 2Е'у'' + F'' = 0,

как и требовалось.

А. Предположим, что А'С'≠0, т. е. оба коэффициента отличны от нуля. Согласно предложению 1 при помощи переноса начала координат уравнение приведется к виду

А'х + Су + F''= 0. (4)

Могут быть сделаны следующие предположения относительно знаков коэффициентов в этом уравнении.

А2. А'С'<0 — коэффициенты А' и С' имеют разные знаки. Относительно F'' имеются следующие две возможности.

А2а. F''≠0. В случае необходимости, делая замену (6), мы можем считать, что знак F'' противоположен знаку А'. Тогда уравнение

приводится к виду

, (9)

где а = -F''/A', b = F''/C'.

Определение. Линия, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат может быть задана уравнением (9), называется гиперболой, уравнение называется каноническим уравнением гиперболы, а система координат — ее канонической системой координат.

А2б. F''=0. Уравнение имеет вид

ax- с²x = 0. (10)

Его левая часть разлагается на множители ах''—су'' и ах''+су'' и, следовательно, обращается в нуль тогда и только тогда, когда равен нулю хоть один из сомножителей. Поэтому линия с уравнением (10) состоит из двух прямых. Эти прямые пересекаются в начале координат, и мы имеем, таким образом, пару пересекающихся прямых.

Комментарии