Устный экзамен по матану (3 сессия)

Программа экзамена:
old. Теорема о неявной функции.
2. Экстремумы функций многих переменных: необходимые условия, достаточные условия. Условный (относительный) экстремум функции МНОГИХ переменных при наличии связей, исследование при помощи функции Лагранжа. Необходимые условия.
З. Измеримость по Жордану множеств в n-мерном евклидовом пространстве. Критерий измеримости (для базового уровня — без доказательства). Измеримость объединения. пересечения и разности измеримых множеств. Конечная аддитивность меры Жордана.
4. Кратный интеграл Римана. Критерий интегрируемости (для базового уровня — без доказательства). Интегрируемость функции, непрерывной на измеримом компакте. Свойства интегрируемых функций: линейность интеграла, аддитивность интеграла по множествам, интегрирование неравенств, измеримость элементарного множества. Сведение кратного интеграла к повторному.
5. Формула Грина. Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования.
6. Геометрический смысл модуля и знака якобиана отображения двумерных пространств. Теорема о замене переменных в кратном интеграле (доказательство для двумерного случая, для базового уровня — без доказательства).
7. Простая гладкая поверхность. Допустимая замена параметров. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Поверхностный интеграл первого рода. Независимость выражения интеграла через параметризацию поверхности от допустимой замены параметров. Площадь поверхности. Ориентация простой гладкой поверхности. Поверхностный интеграл второго рода. Выражение через параметризацию поверхности. Кусочно-гладкие поверхности и интегралы по ним.
8. Формула Гаусса—Остроградского. Дивергенция векторного поля, её независимость от выбора прямоугольной системы координат и геометрический смысл. Соленоидальные векторные поля. Связь соленоидальности с обращением в нуль дивергенции поля.
9. Формула Стокса. Ротор векторного поля, его независимость от выбора прямоугольной правой системы координат и геометрический смысл. Потенциальные векторные поля. Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрировання. Связь потенциальности с обращением в нуль роторного поля.


Задачи из билетов:

1. Вычислить интеграл dxdydz, где G={(x,y,z): }

2. Вычислить интеграл dxdydz

3. Вычислить интеграл dxdydz, где G={(x,y,z): , }

4. Вычислить интеграл dxdydz, где G={(x,y,z): , }

5. Вычислить интеграл xdxdy, где G - область, ограниченная кривой = 4x-2y+4

6. Вычислить интеграл ydxdydz, где G - пирамида, ограниченная плоскостями x = 0, y = 0, z = 0, 2x+y+z = 4

9. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями , z = 0, z = y

10. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой (x+2y-3)+(3x+4y-5)=100

11. В интеграле J=f(x,y)dxdy, где D = {(x,y): }, перейти к полярным координатам и расставить пределы интегрирования двумя способами.

13. В интеграле J=f(x,y)dxdy, где D — треугольник с вершинами (0;0), (1;0), (1;-1), перейти к полярным координатам и расставить пределы интегрирования двумя способами.

17. Вычислить интеграл (x+y)dx-(x-y)dy, где Г — эллипс , пробегаемый в положительном направлении.

25. Вычислить интеграл xyzdS, где - часть параболоида z = такая, что

30. Вычислить интеграл +xyzdxdy, где - внешняя сторона сферы ,

33. Найти div(r[c,r]), где r=(x,y,z), r=| r |, c – постоянный вектор

35. Найти div[с,r], где r = (x,y,z), с — постоянный вектор

38. Исследовать на экстремум функцию u = -12x-15y+3

39. Исследовать на экстремум функцию u = +2x+4y-6z

40. Исследовать на экстремум функцию u = + 12xy + 2z

41. Исследовать на экстремум функцию u =-x-1

45. Исследовать на экстремум функцию u = xy + 2xz + 2yz при условии xyz = 108

46. Исследовать на экстремум функцию u =