Устный экзамен по матану (2 сессия)

Карточки для заучивания Anki: Скачать

Программа экзамена:
I. Функции нескольких переменных
1. Метрическое пространство. Свойства открытых и замкнутых множеств в метрическом пространстве.
2. Сходящиеся и фундаментальные последовательности точек в метрическом пространстве, полные метрические пространства. Полнота евклидового пространства Еm, теорема Больцано-Вейерштрасса, компакты в евклидовом пространстве Еm
3. Теорема о равномерной непрерывности функции, непрерывной на компакте (теорема Кантора).
4. Дифференцируемость функции нескольких переменных в точке. Достаточное условие дифференцируемости функции.
5. Дифференцируемость сложной функции нескольких переменных. Первый дифференциал и инвариантность его формы.
6. Теорема о независимости смешанной производной от порядка дифференцирования.
7. Формула Тейлора для функций нескольких переменных.
8. Теорема о неявной функции, определяемой одним уравнением.
9. Непрерывные и регулярные отображения в евклидовом пространстве Еm. Теорема о локальной обратимости регулярного отображения.
10. Непрерывные и регулярные отображения открытых множеств.
II. Определенный интеграл
11. Определенный интеграл и его свойства: линейность и аддитивность относительно отрезков интегрирования.
12. Интегрируемость произведения двух интегрируемых на отрезке функций.
13. Интегральные суммы Дарбу и их свойства. Критерий интегрируемости функции.
14. Интегрируемость непрерывной функции.
15. Интегрируемость монотонной функции.
16. Теорема о среднем для определенного интеграла.
17. Непрерывность интеграла как функции верхнего предела.
18. Существование первообразной для непрерывной функции. Формула Ньютона Лейбница.
19. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.
20. Критерий квадрируемости плоской фигуры.
21. Вычисление площади криволинейного сектора.
22. Вычисление площади криволинейной трапеции и длины дуги с помощью определенного интеграла.
23. Вычисление площади поверхности вращения с помощью определенного интеграла.
III. Криволинейные интегралы
24. Криволинейный интеграл первого рода и его свойства.
25. Криволинейный интеграл второго рода и его свойства.
IV. Несобственные интегралы
26. Признак сходимости несобственных интегралов, основанный на сравнении.
27. Абсолютно и условно сходящиеся несобственные интегралы. Критерий Коши сходимости несобственного интеграла.
28. Признак Дирихле для несобственных интегралов.
V. Числовые ряды
29. Признак сравнения для числовых рядов с неотрицательными членами.
30. Признаки Коши и Даламбера сходимости рядов с неотрицательными членами.
31. Интегральный признак (признак Коши-Маклорена) сходимости числового ряда.
32. Независимость суммы абсолютно сходящегося ряда от порядка слагаемых.
33. Теорема об умножении абсолютно сходящихся рядов.
34. Признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов.
35. Признак Дирихле сходимости числовых рядов.
VI. Функциональные последовательности и ряды
36. Равномерная сходимость функциональных рядов и последовательностей. Критерий Коши равномерной сходимости.
37. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда.
38. Признак Дирихле равномерной сходимости функциональных рядов.
39. Теорема о непрерывности суммы функционального ряда.
40. Почленное интегрирование функциональных рядов и последовательностей.
41. Почленное дифференцирование функциональных рядов.
VII. Степенные ряды
42. Степенной ряд. Теорема Абеля. Радиус сходимости степенного ряда.
43. Единственность представления функции степенным рядом.
44. Формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме.
45. Ряд Тейлора. Разложение в степенной ряд е^x.
46. Разложение в степенной ряд ln(1 + х).
47. Разложение в ряд Тейлора функции (1 + х)^a.