Устный экзамен по ТФКП (5 сессия)

1. Дифференцирование функций по комплексному переменному. Условия Коши-Римана. Понятие функции, регулярной в области.
2. Теорема об обратной функции.
3. Интегрирование функции по комплексному переменному. Основные свойства интегралов. Интегральная теорема Коши для регулярной функции (случаи односвязной звездной области и неодносвязной области).
4. Интегральная формула Коши.
5. Дифференцированние интеграла типа Коши. Бесконечная дифференцируемость регулярных функций.
6. img Степенной ряд и его круг сходимости. Ряд Тейлора. Разложение регулярной функции в степенной ряд, единственность разложения.
7. img Понятие ряда Лорана и его кольцо сходимости. Разложение в ряд Лорана функции, регулярной в кольце. Единственность разложения в ряд Лорана.
8. img Теоремы Вейерштрасса. Регулярность суммы степенного ряда.
9. img Теорема единственности регулярной функции.
10. img Понятие первообразной. Достаточное условие существования первообразной у непрерывной функции.
11. img Классификация изолированных особых точек однозначного характера по структуре главной части лорановского разложения.
12. img Теорема о вычетах. Вычисление несобственных интегралов с помощью вычетов. Лемма Жордана.
13. img Понятие целой функции. Неравенство Коши для коэффициентов ряда Лорана. Теорема Лиувиля. Теорема о разложении рациональной дроби в сумму простейших.
14. img Теорема Сохоцкого для целых функций. Теорема Пикара (без доказательства).
15. img Приращение аргумента z вдоль гладкого контура,его интегральное представление и свойства. Общий вид регулярных ветвей многозначных функций Ln Z и z^{1/n} .
16. Принцип аргумента. Теорема Руше. Основная теорема алгебры
17. Лемма об открытости. Принцип сохранения области. Однолистность и многолистность в малом.
18. Геометрический смысл модуля и аргумента производной. Понятие комформного отображения в области на комплексной плоскости. Критерий конформности в точке.
19. Понятие конформного отображения в расширенной комплексной плоскости. Теорема Римана о существовании конформного отображения и принцип соответствия границ (без доказательства). Общий вид конформного отображения единичного круга на себя.
20. img Дробно-линейная функция и её свойства.
21. img Функция Жуковского и ей свойства.
22. Конформные отображения, осуществляемые степенной и экспонциальной функциями.
23. img Гармоническая функция функция двух переменных. Их связь с регулярными функциями. Принцип максимума модуля регулярной функции.
24. Классическая задача Дирихле для уравнения Лапласа. Единственность решения. Интеграл Пуассона для круга. Существование решения классической задачи Дирихле в круге.
25. img Существование решения классической задачи Дирихле в круге.