Теорема 1

Формулировка. Пусть даны две области $G$ и $H$ в комплексной плоскости $\mathbb{C}$ , две регулярные функции $f:G \rightarrow \mathbb{C}$ и $g: H \rightarrow \mathbb{C}$ , причем выполнено условие,что $f(z)\in H$ для всех $z \in G$ (т. е. $f(G)\subset H$ ). Тогда сложная функция $\zeta=g(f(z))$ регулярна в области $G$ и справедлива формула дифференцирования

$\zeta'(z)=g'(f(z))f'(z), \forall z \in G.~~~~~~(1)$

Доказательство. теорема сводится к проверке формулы (1). Для этого возьмем произвольную точку $z_0 \in G$ и пусть $\omega_0 = f(z_0)$ . Приращения функции $\Delta f$ и $\Delta g$ по определению дифференцируемости функции принимают вид

$\Delta f=f'(z_0)\Delta z+o(\Delta z),~~~~\Delta \zeta=g'(\omega_0)\Delta \omega + o(\Delta \omega)$

В итоге, переходя к пределу в выражении $\frac{\Delta \zeta}{\Delta z}=g'(\omega_0)\frac{\Delta f}{\Delta z} + o(\frac{\Delta f}{\Delta z})$ , получаем формулу (1). Так как по условию теоремы функция $g'(\omega)$ непрерывна на $f(G)$ , функции $f(z), f'(z)$ непрерывны на области $G$ , т. е. функция $g(f(z))$ регулярна в $G$ .

Теорема 2

Формулировка. Пусть на области $G$ заданы регулярная функция $f: G \rightarrow \mathbb{C}$ и точка $z_0 \in G$ . Пусть точка $\omega_0 = f(z_0)$ и пусть выполнено условие $f'(z_0)\ne 0$ . Тогда существуют круги $B_{\delta}(z_0)\subset G$ и $B_{\varepsilon}(\omega_0)$ такие, что

a) $f'(z)\ne 0 ~~~\forall z \in B_{\delta}(z_0);$

б) Для любой точки $\omega \in B_{\varepsilon}(\omega_0)$ уравнение $f(z)=\omega$ имеет единственное решение $z$ в круге $B_{\delta}(z_0)$ , т.е. на круге $B_{\varepsilon}(\omega_0)$ существует обратная к функции $f$ функция $g: B_{\varepsilon}(\omega_0)\rightarrow B_{\delta}(z_0)$ (т.е. функция, для которой $f(g(\omega))=\omega$ ;)

в) Обратная функция $g: B_{\varepsilon}(\omega_0)\rightarrow B_{\delta}(z_0)$ регулярна, причем её производная вычисляется по формуле

$g'(\omega)=\frac{1}{f'(g(\omega))},~~~\forall \omega \in B_{\varepsilon}(\omega_0).~~~~~(2)$

Доказательство. Пусть $z_0=x_0+iy_0,~\omega_0=u_0+iv_0,f(z)=u(x, y)+iv(x,y)$ . Задание функции $f: G \rightarrow \mathbb{C}$ эквивалентно заданию отображения

$\begin{cases} u=u(x,y) \\ v=v(x,y) \end{cases}: G \rightarrow \mathbb{R}^2 ~~~~~~~(3)$

Якобиан отображения (3) в силу условия Коши-Римана равен

$J(x,y)=\begin{vmatrix} u'_x & v'_y \\ v'_x & u'_y \end{vmatrix} = u_x^2+v_x^2=|f'(z)|^2.~~~~~~(4)$

Итак, отображение (3) непрерывно дифференцируема, и в силу условия теоремы и формулы (4) получаем, что $J(x_0, y_0)\ne 0$ , т.е. выполнены условия теоремы о неявной вектор-функции, в силу которой существуют круги $B_{\delta}(z_0)$ и $B_{\varepsilon}(\omega_0)$ такие что $J(x, y)\ne 0$ , $\forall (x, y)\in B_{\delta}(z_0) ~and~ \forall (\hat{u}, \hat{v}) \in B_{\varepsilon}(\omega_0)$ система уравнений $\begin{cases} \hat{u}=u(x,y),\\ \hat{v}=v(x, y) \end{cases}$ имеет в $B_{\delta}(z_0)$ единственное решение $(x(\hat{u}, \hat{v}), y(\hat{u}, \hat{v}))$ т.е. существует отображение

$\begin{cases} x=x(u,v),\\ y=y(u, v), \end{cases} ~~\forall (u, v) \in B_{\varepsilon}(\omega_0)~~~~~~(5)$

обратное к отображению (3). Более того, по той же теореме функции $x(u, v)$ и $y(u, v)$ непрерывны дифференцируемы в круге $B_{\varepsilon}(\omega_0)$ . Отображению (5) на комплексной плоскости $\mathbb{C}$ соответствует комплекснозначная функция $g: B_{\varepsilon}(\omega_0)\to B_{\delta}(z_0)$ вида

$z=g(\omega)=x(u, v)+iy(u, v)~~~~(6)$

Покажем, что функция (6) регулярна в $B_{\varepsilon}(\omega_0)$ . Перепишем тождество (7) по компонентам:

$\begin{cases} u\equiv u(x(u, v), y(u, v)),\\ v \equiv u(x(u, v), y(u, v)), \end{cases}~~\forall (u, v)\in B_{\varepsilon}(\omega_0)$

Так, как функции $u(x, y), v(x, y)\in C^{1}(B_{\delta}(z_0))$ , а функции $x(u, v), y(u, v)\in C^{1}(B_{\varepsilon}(\omega_0))$ , то, дифференцируя тождество (8) по переменным $u$ и $v$ , получаем систему уравнений

$\begin{cases} 1=u_x\cdot x_u+u_y\cdot y_u,\\ 0=u_x\cdot x_v+u_y\cdot y_v;\end{cases}~~~\begin{cases} 0=v_x\cdot x_u+v_y\cdot y_u,\\ 1=v_x\cdot x_v+v_y\cdot y_v;\end{cases}$

Которые можно переписать в виде матричного равенства

$\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}u_x & u_y \\ v_x & v_y \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_u & x_v \\ y_u & y_v \end{pmatrix}.~~~~~(9)$

Равенство (9) означает, что матрица $\begin{pmatrix} x_u & x_v\\y_u & y_v \end{pmatrix}$ является обратной к $\begin{pmatrix}u_x & u_y \\ v_x & v_y \end{pmatrix}$ , и так как по формуле (4) якобиан $J(x, y)\ne 0$ при всех $(x, y)\in B_{\delta}(z_0)$ , то вычисляя обратную матрицу, получаем соотношения

$x_u=\frac{v_y}{J},~~x_v=-\frac{u_y}{J},~~y_{u}=-\frac{v_x}{J},~~y_v=\frac{u_x}{J}$

Из условий Коши-Римана, записанных для функций $u$ и $v$ , и из формул (10) получаем равенств $x_u=y_v,~~~x_v=-y_u$ , которые означают условия Коши-Римана для обратной функции $g$ , т.е. функция $g(\omega)$ дифференцируема. При этом по формуле (7) из $\S 3$ получаем

$g(\omega)=\frac{v_y-iv_x}{J}=\frac{u_x-iv_x}{u_x^2+v_x^2}=\frac{1}{u_x+iv_x}=\frac{1}{f'(g(\omega))},$

т.е. справедлива формула (2). Так как производная $f'(z)\ne 0$ на круге $B_{\delta}(z_0)$ , а функции $f'(z)$ и $g(\omega)$ непрерывны, то в силу формулы (2) получаем, что функция $g'(\omega)$ непрерывна, т.е. $g(\omega)$ регулярна в круге $B_{\varepsilon}(\omega_0).$

Сказать "Спасибо"

Теорема об обратной функции.

Теорема 1

Теорема 2

Комментарии