Устный экзамен по дифференциальным уравнениям (4 сессия)

Программа экзамена:

1. Простейшие типы уравнений первого порядка: уравнения с разделяющимися переменными, однородные, линейные, в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.

2. Метод введения параметра для уравнений первого порядка, не разрешенных относительно производной.

3.Общие понятия и методы понижения порядка для дифференциальных уравнений высшего порядка.

4.Общее решение линейного однородного уравнения n-ого порядка с постоянными коэффициентами.(old)

5.Общее решение линейного однородного уравнения n-ого порядка с постоянными коэффициентамив случае, когда правая часть является квазимногочленом.

6. Общее решение линейной однородной системы уравнений с постоянными коэффициентами в случае, когда существует базис из собственных векторов матрицы коэффициентов системы.

7. Теорема о приведении матрицы линейного преобразования к жордановой форме (без доказательства).

8. Общее решение линейной однородной системы уравнений с постоянными коэффициентами в случае, когда не существует базис из собственных векторов матрицы коэффициентов системы.

9.Отыскание решений линейной неоднородной системы уравнений с постоянными коэффициентами в случае, когда свободные члены уравнений являются квазимногочленами.

10. Матричная экспонента и её применение для получения общего решения и решения задачи Коши для линейных систем с постоянными коэффициентами.

11. Преобразование Лапласа и его применение для решений линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

12. Простейшая задача вариационного исчисления. Уравнение Эйлера.

13. Вариационная задача со свободным концом. Вариационные задачи для функционалов, зависящих от нескольких функций, и Вариационные задачa для функционалов содержаших производные высших порядков.

14. Изопериметрическая задача (без доказательства).

15. Задача Лагранжа (без доказательства).

16. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для нормального уравнения первого порядка.

17. Характер зависимости (непрерывность, дифференцируемость) решения задачи Коши для нормального уранения первого порядка отт параметров и начальных данных. Уравнение в вариациях.

18. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для уравнения первого порядка, не разрешённого относительно производной. Особые решения.

19. Автономные системы дифференциальных уравнений. Свойства фазовых тракеторий.

20. Классификация положений равновесия линейных автономных систем уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. Характер поведения фазовых траекторий в окрестности положения рановесия в автономных нелинейных системах второго порядка.

21. Первые интегралы систем дифференциальных уравнений. Критерий первого интеграла. Применение первых интегралов для понижения порядка системы уравнений. Теорема о числе независимых первых интегралов.

22. Общее решение и постоновка задачи Коши для линейного однородного уранения в частных производных первого порядка. Теорема существования и единственности решения задачи Коши (без доказательства)

23.Теорема существования и единственности решения задачи Коши для нормальных линейных систем уравнений.

24.Фундаментальная система решений, фундоментальная матрица решений и структура общего решения линейной однородной системы.

25.Определитель Вронского и формула Лиувилля - Остроградского для решений линейных однородных систем уравнений.

26.Структура общего решения и метод вариации постоянных для неоднородной системы уравнений.

27.Теорема существования и единственности задачи Коши для нормального линейного уравнения n - ого порядка.

28.Структура общего решения и формула Лиувилля - Остроградского для линейного однородного уравнения n - ого порядка.

29. Структура общего решения и метод вариации постоянных для линейного неоднородного уравнения n - ого порядка.

30. Теорема Штурма и следствия из неё.

31. Продолжение решения дифференциального уравнения. Теорема существования и единственности непродолжаемого решения задачи Коши для нормального уравнения первого порядка (без доказательства).