Сказать "Спасибо"

Общее решение линейного однородного уравнения n-ого порядка с постоянными коэффициентамив случае, когда правая часть является квазимногочленом.

Рассмотрим уравнение

$L(D)y(x)=e^{\mu x}\cdot P_m(x)~~~~(1)$

где $μ$ - заданное комплексное число, $P m (x)$ - заданный многочлен степени $m$ .

Определение. Если число $μ$ является корнем характеристического уравнения $L (λ) = 0$ , то говорят, что в уравнении (1) имеет место резонансный случай.

Теорема. Для уравнения (1) существует и единственно решение вида

$y(x)=x^k\cdot Q_m(x)\cdot e^{\mu x}$

где $Q m (x)$ - многочлен одинаковой с $P m (x)$ степени $m$ , а число $k$ равно кратности корня $μ$ характеристического уравнения $L (λ) = 0$ в резонансном случае и $k = 0$ в нерезонансном.

Доказательство. Если $\mu\ne 0$ , то заменой $y=e^{\mu x}\cdot z$ в уравнении (1) всегда можно избавиться от $e μ x$ в правой части.

L (D) e μ x z = e μ x L (D + μ) z = e μ x P m (x)

Отсюда $L (D + μ) z = P m (x)$ .

Таким образом доказательство теоремы осталось провести для уравнения вида

$L(D)y=P_m(x)~~~~~(2)$

a) Нерезонансный случай: $L(0)\ne 0$ . Пусть

P m (x) = p 0 x m + ... + p m

Q m (x) = q 0 x m + ... + q m

Подставляя $P m, Q m$ в уравнениие (2) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $x$ , получаем линейную алгебраическую систему уравнений для определения неизвестных коэффициентов $q 0,..., q m$

$\left\{\begin{array}{lcl}a_nq_0=p_0\\ a_nq_1+a_{n-1}\cdot mq_0=p_1\\ ......\\ a_nq_m=0+...=p_m\end{array} \right.$

Матрица этой системы треугольная с числами $a_n=L(0)\ne 0$ по диагонали,поэтому коэффициенты $Q m (x)$ определяются однозначно.

б) Резонансный случай:

$L (λ) = λ k (λ n - k + a 1 λ n - k - 1 + ... + a n - k)$

Следовательно $L(D)=\left\{\begin{array}{lcl}D^n+a_1D^{n-1}+...+a{n-k}D^k, k < n\\ D^n, k=n \end{array} \right.$

В случае $k < n$ замена $D k y = z$ в уравнении (1) приводит к уравнению

$L_1(D)z\equiv (D^{n-k}+...+a_{n-k})z=P_m(x)$

Поскольку $L_1(0)=a_{n-k}\ne 0$ , то для этого уравнения имеет место нерезонансный случа. Следовательно существует, единственное решение этого уравнения $z = R m (x)$ .

Рассмотрим уравнение

$D^ky\left\{\begin{array}{lcl}R_m(x), k < n\\ P_m(x), k=n \end{array} \right.$

Взяв нулевые начальные условия для этого уравнения

y (0) = y'(0) = ... = y (k - 1) (0) = 0

получаем единственное решение вида

$y(x)=x^k\cdot Q_m(x)$ .

Сказать "Спасибо"

Общее решение линейного однородного уравнения n-ого порядка с постоянными коэффициентамив случае, когда правая часть является квазимногочленом.

Комментарии