Устный экзамен по уравнениям мат. физики (6 сессия)

1. Основные принципы вывода задач математической физики. Вывод уравнения теплопроводности и постановка основных начально-краевых задач для уравнения теплопроводности.

2. Общая классификация линейных дифференциальных уравнений в частных производных с комплексными коэффициентами. Эллиптические уравнения. Гиперболические уравнения.

3. Классификация и приведение к каноническому виду уравнений второго порядка с вещественными переменными коэффициентами в случае двух независимых переменных.

4. Классификация и приведение к каноническому виду уравнений второго порядка с вещественными постоянными коэффициентами в случае n>=3 независимых переменных.

5. Задача Коши для волнового уравнения в случае одной пространственной переменной. Принцип Дюамеля. Формула Даламбера. Область зависимости. Область единственности.(pdf) Непрерывная зависимость решения от данных задачи.

6. Понятие корректности постановки задачи математической физики (по Адамару). Примеры корректно поставленных задач. Пример Адамара некорректно поставленной задачи.

7. Начально-краевая задача для однородного волнового уравнения на полуоси. Представление решения. Условия согласования начальных и граничных данных. Непрерывная зависимость решения от данных задачи.

8. (pdf) Понятие обобщенного (слабого) решения задачи Коши для волнового уравнения. Разрывные решения.

9. Задача Коши для однородного уравнения теплопроводности. Вывод формулы Пуассона с помощью преобразования Фурье. Принцип Дюамеля.

10. Свойства собственных чисел и собственных функций вещественного симметричного обыкновенного дифференциального оператора с однородными краевыми условиями Дирихле и Неймана. Знакоопределенность оператора.

11. (pdf) Формулы Грина для оператора Лапласа. Симметричность и знакоопределенность оператора Лапласа с однородными краевыми условиями Дирихле и Неймана. Свойства собственных чисел и собственных функций оператора Лапласа.

12. Метод Фурье решения начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности на конечном отрезке. Условия согласования начальных и граничных данных. Сходимость рядов Фурье.

13. Метод Фурье решения начально-краевой задачи для волнового уравнения на конечном отрезке. Условия согласования начальных и граничных данных. Сходимость рядов Фурье.

14. (pdf) Метод Фурье решения краевых задач для уравнения Лапласа в полосе и полуполосе. Условия на бесконечности и классы единственности решений.

7. Задача Коши для волнового уравнения в случае трех пространственных переменных. Принцип Дюамеля. Формула Кирхгофа (без доказательства). Область зависимости. Область единственности. Принцип Гюйгенса.

8. Задача Коши для волнового уравнения в случае двух пространственных переменных. Принцип Дюамеля. Формула Пуассона (без доказательства). Область зависимости. Область единственности. Диффузия волн.

10. Принцип максимума для уравнения теплопроводности в ограниченной области. (pdf) Единственность классического решения первой начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности в ограниченной области. Непрерывная зависимость решения от начальных и граничных данных.

13. Теорема существования и единственности классического решения первой начально-краевой задачи для однородного уравнения теплопроводности на конечном отрезке.

16. (pdf) Гармонические функции. Принцип максимума для гармонических функций.

17. Задача Дирихле для уравнения Пуассона. Единственность классического решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона в ограниченной области. Непрерывная зависимость решения от граничных данных.

18. Метод Фурье решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге. Теорема существования и единственности классического решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге. Непрерывная зависимость решения от граничных данных.

19. Метод Фурье решения задачи Неймана для уравнения Лапласа в круге. Необходимое условие разрешимости. Неединственность классического решения задачи Неймана.

20. Теорема об устранимой особенности для гармонических функций.

21. Представление решений уравнения Пуассона через потенциалы простого и двойного слоя.

22. (pdf) Теорема о среднем для гармонических функций.