Уравнение называется линейным относительно старших производных, если оно имеет вид

$a_{11}u_{xx}+2a_{12}u_{xy}+a_{22}u_{yy}+F_1(x, y, u, u_x, u_y)=0,~~~~~(1)$

где $a_{11}, a_{12}, a_{22}$ являются функциями $x$ и $y$ .

Если коэффициенты $a_{11}, a_{12}, a_{22}$ не только зависят от $x$ и $y$ а являются подобно $F_1$ , функциями $x, y, u, u_x, u_y$ , то такое уравнение называется квазилинейным.

Уравнение называется линейным, если оно линейно как относительно старших производных $u_{xx}, u_{xy}, u_{yy}$ , так и относительно функции $u$ и её первых производных $u_x, u_y$ :

$a_{11}u_{xx}+2a_{21}u_{xy}+a_{22}u_{yy}+b_1u_x+b_2u_y+cu+f=0,~~~~~(2)$

где $a_{11}, a_{21}, a_{22}, b_1, b_2, c, f$ - функции только $x,$ и $y$ . Если коэффициенты уравнения (2) не зависят от $x$ и $y$ , то оно представляет собой линейное уравнение с постоянными коэффициентами. Уравнение называется однородным, если $f=0$ .

C помощью преобразования переменных

$\xi=\varphi(x, y),~~~~~\eta=\psi(x, y),$

допускающего обратное преобразование, мы получаем новое уравнение, эквивалентное исходному. Рассмотрим уравнение, линейное относительно старших производных вида (1) с двумя независимыми переменными $x$ и $y$ :

$a_{11}u_{xx}+2a_{22}u_{yy}+F(x, y, u, u_x, u_y)=0.$

Преобразуя производные к новым переменным, получаем

$u_x=u_\xi\xi_x+u_\eta\eta_x,$ $u_y=u_\xi\xi_y+u_\eta\eta_y,$ $u_{xx}=u_{\xi\xi}\xi_x^2+2u_{\xi\eta}\xi_x\eta_x+u_{\eta\eta}\eta_x^2+u_{\xi}\xi_{xx}+u_{\eta}\eta_{xx},$ $u_{xy}=u_{\xi\xi}\xi_x\xi_y+u_{\xi\eta})(\xi_x\eta_y+\xi_y\eta_x)+u_{\eta\eta}\eta_x\eta_x+u_{\xi}\xi_{xy}+u_{\eta}\eta_{xy}$ ,

$u_{yy}=u_{\xi\xi}\xi_y^2+2u_{\xi\eta}\xi_y\eta_y+u_{\eta\eta}\eta_y^2+u_\xi\xi_{xy}+u_{\eta}\eta_{xy},~~~~~~(3)$

Подставляя значения производных из (3) в уравнение (1), будем иметь

$\overline{a}_{11}=a_{11}\xi_x^2+2a_{12}\xi_x\xi_y+a_{22}\xi_y^2$ $\overline{a}_{12}=a_{11}\xi_x\eta_x+a_{12}(\xi_x\eta_y+\xi_y\eta_x)+a_{22}\xi_y\eta_y$ , $\overline{a}_{22}=a_{11}\eta_x^2+2a_{12}\eta_x\eta_y+a_{22}\eta_y^2,$

a функция $\overline{F}$ не зависит от вторых производных. Заметим, что если исходное уравнение линейно, т.е.

$F(x,y,u,u_x,u_y)=b_1u_x+b_2u_y+cu+f$ ,

то $\overline{F}$ имеет вид

$\overline{F}(\xi, \eta, u, u_\xi, u_\eta)=\beta_1u_\xi+\beta_2u_\eta+\gamma u+\delta,$

т.е. уравнение остается линейным. Выберем переменные $\xi$ и $\eta$ так, чтобы коэффициент $\overline{a}_{11}$ был равен нулю. Рассмотрим уравнение с частными производными 1-го порядка

$a_{11}z_x^2+2a_{12}z_xz_y+a_{22}z_y^2=0.~~~~~(5)$

Пусть $z=\varphi(x, y)$ - какое-нибудь частичное решение этого уравнения. Если положить $\xi=\varphi(x, y)$ , то коэффициент $\overline{a}_{11}$ , очевидно, будет равен нулю. Таким образом, упомянутая выше задача о выборе новых независимых переменных связана с решением уравнения (5).

Докажем следующие леммы.

1. Если $z=\varphi(x, y)$ - какое-нибудь частное решение этого уравнения

$a_{11}z_x^2+2a_{12}z_xz_y+a_{22}z_y^2=0,$

то соотношение $\varphi(x,y)=C$ представляет собой общий интеграл обыкновенного дифференциального уравнения

$a_{11}dy^2-2a_{12}dxdy+a_{22}dx^2=0.~~~~~(6)$

2. Если $\varphi(x, y)=C$ представляет собой общий интеграл обыкновенного дифференциального уравнения

$a_{11}dy^2-2a_{12}dxdy+a_{22}dx^2=0,$

то функция $z=\varphi(x, y)$ удовлетворяет уровнению (5).

Докажем первую лемму. Посколько функция $z=\varphi(x, y)$ удовлетворяет уровнению (5), то равенство

$a_{11}\left(\frac{\varphi_x}{\varphi_y}\right)^2-2a_{12}\left(-\frac{\varphi_x}{\varphi_y}\right)+a_{22}=0$

является тождеством: оно удовлетворяется для всех $x,~y$ в той области, где задано решение. Соотношение $\varphi(x, y)=C$ является общим интегралом уравнения (6), если функция $y$ , определенная из неявного соотношения $\varphi(x, y)=C$ , удовлетворяет уравнению (6). Пусть

$y=f(x, C)$

есть эта функция; тогда

$\frac{dy}{dx}=-\left[\frac{\varphi_x(x, y)}{\varphi_y(x, y)}\right]_{y=f(x,C)},~~~~~(8)$

где квадратные скобки и индекс $y=f(x, C)$ указывают, что в правой части равенства (8) переменная $y$ не является независимой переменной, а имеет значение, равное $f(x, C)$ . Отсюда следует, что $y=f(x, C)$ удовлетворяет уравнению (6), так как

$a_{11}\left(\frac{dy}{dx}\right)^2-2a_{12}\frac{dy}{dx}+a_{22}=\left[a_{11}\left(-\frac{\varphi_x}{\varphi_y}\right)^2-2a_{12}\left(-\frac{\varphi_x}{\varphi_y}\right)+a_{22}\right]_{y=f(x,C)}=0$ ,

поскольку выражение в квадратных скобках равно нулю при всех значениях $x, y,$ а не только при $y=f(x, C)$ .

Докажем вторую лемму. Пусть $\varphi(x, y)=C$ - общий интеграл уравнения (6). Докажем, что

$a_{11}\varphi_x^2+2a_{12}\varphi_x\varphi_y+a_{22}\varphi_y^2=0~~~~~(7')$

для любой точки $(x, y)$ . Пусть $(x_0, y_0)$ - какая-нибудь заданная точка. Если мы докажем, что в ней удовлетворяется равенство $(7')$ , то отсюда в силу произвольности $(x_0, y_0)$ будет следовать равенство (7') есть тождество и функция $\varphi(x, y)$ является решением уравнения (7'). Проведем через точку $(x_0, y_0)$ интегральную кривую уравнения (6), полагая $\varphi(x_0, y_0)=C_0$ и рассматривая кривую $y=f(x, C_0)$ . Очевидно, что $y_0=f(x_0, C_0)$ . Для всех точек кривой имеем

$a_{11}\left(\frac{dy}{dx}\right)^2-2a_{12}\frac{dy}{dx}+a_{22}=\left[a_{11}\left(-\frac{\varphi_x}{\varphi_y}\right)^2-2a_{12}\left(-\frac{\varphi_x}{\varphi_y}\right)+a_{22}\right]_{y=f(x, C_0)}=0.$

Полагая в последнем равенстве $x=x_0$ , получаем

$a_{11}\varphi_x^2(x_0, y_0)+2a_{12}\varphi_x(x_0, y_0)\varphi_y(x_0,y_0)+a_{22}\varphi_y^2(x_0, y_0)=0,$

что и требовалось доказать.

Уравнение (6) называется характеристическим для уравнения (1), а его интегралы - характеристиками.

Полагая $\xi=\varphi(x,y)$ , где $\varphi(x,y)=const$ есть общий интеграл уравнения (6), мы обращаем в нуль коэффициент при $u_{\xi\xi}$ . Если $\psi(x,y)=const$ является другим общим интегралом уравнения (6), независимым от $\varphi(x,y)$ , то полагая $\eta=\psi(x,y)$ , мы обратим в нуль также и коэффициент при $u_{\eta\eta}$ .

Уравнение (6) распадается на два уравнения

$\frac{dy}{dx}=\frac{a_{12}+\sqrt{a_{12}^2-a_{11}a_{22}}}{a_{11}},~~~~~~(9)$ $\frac{dy}{dx}=\frac{a_{12}-\sqrt{a_{12}^2-a_{11}a_{22}}}{a_{11}}.~~~~~~(10)$

Знак подкоренного уравнения определяет тип уравнения (1)

$a_{11}u_{xx}+2a_{12}u_{xy}+a_{22}u_{yy}+F=0$

Это уравнение мы будем называть в точке $M$ уравнением

гиперболического типа, если в точке $M$ $a_{12}^2-a_{11}a_{22}>0$ ,

параболического типа, если в точке $M$ $a_{12}^2-a_{11}a_{22}=0$ ,

эллиптического типа, если в точке $M$ $a_{12}^2-a_{11}a_{22}<0$ .

Сказать "Спасибо"

Классификация и приведение к каноническому виду уравнений второго порядка с вещественными переменными коэффициентами в случае двух независимых переменных.

Комментарии