Математическия анализ (1 семестр)

Программа экзамена

1. Теорема о существовании и единственности точной верхней (нижней) грани числового множества, ограниченного сверху (снизу)— без доказательства. Представление действительных чисел бесконечными десятичными дробями. Счетность множества рациональных чисел, несчетность множества действительных чисел.

2. Предел числовой последовательности. Теорема Кантора о вложенных отрезках. Единственность предела. Бесконечно малые последовательности и их свойства. Свойства пределов, связанные с неравенствами. Арифметические операции со сходящимися последовательностями. Теорема Вейерштрасса о пределе монотонной ограниченной последовательности. Число e. Бесконечно большие последовательности и их свойства.

3. Подпоследовательности, частичные пределы. Теорема Больцано–Вейерштрасса. Критерий Коши сходимости последовательности.

4. Предел числовой функции одной переменной. Определения по Гейне и по Коши, их эквивалентность. Свойства пределов функции. Различные типы пределов. Существование односторонних пределов у монотонной функции.

5. Непрерывность функции в точке. Свойства непрерывных функций. Односторонняя непрерывность. Непрерывность сложной функции. Точки разрыва, их классификация.

6. Свойства функций, непрерывных на отрезке — ограниченность, достижение точных верхней и нижней граней. Теорема о промежуточных значениях непрерывной функции. Теорема об обратной функции.

7. Непрерывность элементарных функций. Определение показательной функции. Замечательные пределы, следствия из них.

8. Производная функции одной переменной. Односторонние производные. Непрерывность функции, имеющей производную. Дифференцируемость функции в точке, дифференциал. Геометрический смысл производной и дифференциала. Производная суммы, произведения и частного двух функций. Производная сложной функции. Производная обратной функции. Производные элементарных функций. Инвариантность формы дифференциала относительно замены переменной.

9. Производные высших порядков. Формула Лейбница для nй производной произведения. Дифференциал второго порядка.

10. Теорема Ферма (необходимое условие локального экстремума). Теоремы о среднем Ролля, Лагранжа, Коши. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. Правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей вида 0/0.

11. Применение производной к исследованию функций. Достаточные условия монотонности, достаточные условия локального экстремума в терминах первой и второй производной. Выпуклость, точки перегиба. Построение графиков функций — асимптоты, исследование интервалов монотонности и точек локального экстремума, интервалов выпуклости и точек перегиба.

12. Первообразная и неопределенный интеграл. Линейность неопределенного интеграла, интегрирование подстановкой и по частям. Интегрирование рациональных функций. Основные приемы интегрирования иррациональных и трансцендентных функций.

13. Элементы дифференциальной геометрии. Кривые на плоскости и в пространстве. Гладкие кривые, касательная к гладкой кривой. Длина кривой. Производная переменной длины дуги (без доказательства). Натуральный параметр. Кривизна кривой, формулы для ее вычисления.