Система Orphus

Принцип максимума для гармонических функций.

Пусть D - ограниченная область в \mathbb{R}^n, u(x) - функция гармоническая в D и непрерывная в \bar{D}. Тогда справедлив принцип максимума:

\max_{x\in D} u(x)=\max_{x\in \partial D}u(x)

Доказательство.

Прежде всего заметим, что посскольку \bar{D} и \partial D - компакты, и функция u(x) непрерывна на них, то оба максимума существуют и достигаются хотя бы в одной точке соответствующих множеств.

Допустим обратное, пусть существует точка x_0\in D такая, что u(x_0)>C_1, где C_1=\max_{x\in \partial D}u(x). Рассмотрим вспомагательную функцию

v(x)=u(x)+\frac{u(x_0)-C_1}{C_2}|x-x_0|^2,

где C_2=\max_{x \in \partial D}|x-x_0|^2

Тогда

\max_{x\in\partial D}v(x)=\max_{x\in\partial D}\left(u(x)+\frac{u(x_0)-C_1}{C_2}|x-x_0|^2\right)< C_1+\frac{u(x_0)-C_1}{C_2}C_2=u(x_0)=v(x_0)

Следовательно, максимум функции v(x) не может достигаться на границе области D, а достигается в некоторой внутренней точке x^*.

Согласно необходимому условию должно выполняться

\Delta v(x^*)\leqslant 0,

но с другой стороны

\Delta v(x^*)=\Delta u(x^*)+\frac{u(x_0)-C_1}{C_2}\Delta|x^*-x_0|^2=2n\frac{u(x_0)-C_1}{C_2}>0.

Из полученного противоречия следует, что u(x_0)\leqslant C_1.


Система Orphus

Комментарии