Система Orphus

линейные

Дифференциальное уравнение вида

y'+a(x)y=f(x)~~~~(1)

где

a(x) - заданная непрерывная функция на (α,β),

f(x) - заданная непрерывная функция на (α,β),

называется линейным уравнением первого порядка.

1) Линейное однородное уравнение первого порядка легко интегрируется

y' + a(x)y = 0

решение этого уравнения записывается в виде

y(x) = Ce − A(x)

если положить A(x)=\int_{x_0}^{x}a(\eta)d\eta

2) Для решения линейного неоднородного уравнения применим так называемый метод вариации постоянной (метод Лагранжа). В уравнение (1) сделаем замену

y(x) = c(x)e − A(x)

Имеем

С'e − A(x) − cae − A(x) + ace − A(x) = f(x)
c'(x) = eA(x)f(x)
c(x)=\int_{x_0}^{x}e^{A(\eta)}f(\eta)d\eta

Подставляя выражение для вариационной постоянной в решение однородного получаем окончательно

y(x)=De^{-A(x)}+e^{-A(x)}\int_{x_0}^{x}e^{A(\eta)}f(\eta)d\eta

Система Orphus

Комментарии