Сказать "Спасибо"

Помочь проекту

Преобразование Лапласа и его применение для решений линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Определение.

Комплекснозначная функция $f (t)$ называется оригиналом, если:

1. $f(t)\equiv 0$ при $t < 0$ ,

2. кусочно непрерывна,

3. $\exists M > 0,\alpha : |f(t)|\leq Me^{\alpha t}, \forall t \geq 0$

Определение.

Пусть $f (t)$ оригинал. Преобразованием Лапласа $f (t)$ называется функция комплексной переменной

$F(p)=\int_{0}^{+\infty}e^{-pt}\cdot f(t)dt,~~~~Re p > \alpha$

Связь между оригиналом и его преобразованием Лапласа будем обозначать так:

$f(t)\risingdotseq F(p),~~~~~~F(p)\risingdotseq f(t), Re p > \alpha$

Свойства преобразования Лапласа.

1. Свойство линейности

Пусть $f_1(t)\risingdotseq F_1(p), f_2(t)\risingdotseq F_2(p)$ . Тогда для любых комплексных чисел $C 1, C 2$ :

$f(t)=C_1f_1(t)+C_2f_2(t)\risingdotseq C_1F_1(p)+C_2F_2(t)=F(t)$

2. Дифференцирование оригинала.

$f'(t)\risingdotseq pF(p)-f(+0)$

3. Свойство единственности оригинала. Оригинал $f (t)$ однозначно определяется по его преобразованию Лапласа $F (p)$ во всех точках, где функция $f (t)$ дифференцируема.

Рассмотрим применение преобразование Лапласа для решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Пусть задано уравнение

$L(D)y(t)=(D^n+a_1D^{n-1}+...+a_n)y(t)=f(t),~~~~~t \leq 0$

и начальное условие

y ( + 0) = y 0, y'( + 0) = y 1,..., y (n - 1) = y n - 1

Пусть $f(t)\risingdotseq F(t)$ , $y(t)\risingdotseq Y(p)$ , $M (p) = p n - 1 y 0 + .... p y n - 2 + y n - 1 + a 1 (p n - 2 y 0 + .... + y n - 2) + ... + a n - 1 a 0$

Тогда преобразовав правую и левую часть получаем

L (p) Y (p) - M (p) = F (p)

и $Y(p)=\frac{F(p)+M(p)}{L(p)}~~~Re p > \hat\alpha$

Сказать "Спасибо"

Преобразование Лапласа и его применение для решений линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Комментарии