Основные свойства интегралов.

Содержание

1 1 Свойство. Линейность
2 2 Свойство.
3 3 Свойство
4 4 Свойство.
5 5 Инвариантность

1 Свойство. Линейность

$\int_{\gamma}(\lambda f(z)+\mu g(z))dz=\lambda \int_{\gamma}f(z)dz+\mu\int_\gamma g(z)dz$

2 Свойство.

Обозначим $\gamma^{-1}$ контур, полученный из $\gamma$ заменой ориентации на противоположную. Тогда

$\int_{\gamma^{-1}}f(z)dz=-\int_{\gamma}f(z)dz$

3 Свойство

Пусть кусочно-гладкий контур $\gamma$ является объединением двух кусочно-гладких контуров $\gamma_1$ и $\gamma_2$ . Тогда

$\int_{\gamma}f(z)dz=\int_{\gamma_1}f(z)dz+\int_{\gamma_2}f(z)dz$

4 Свойство.

Справедлива оценка интеграла

$\left|\int_{\gamma}f(z)dz\right| \le \int_{t_0}^{t_1}|f(x(t)+iy(t))|\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}dt=\int_{\gamma}|f(z)||dz|$

Из формулы (3) получаем оценку

$|\sigma(\lambda)|=\left|\sum_{k=1}^{m_\lambda}f(\zeta_k)\Delta z_k\right|\le \sum_{k=1}^{m_{\lambda}}|f(\zeta_k)||\Delta z_k|$

5 Инвариантность

Интеграл (3) не зависит от выбора параметризации $z(t)$ контура $\gamma$ при условии, что каждая такая параметризация индуцирует одну и ту же ориентацию контура $\gamma$ .

Сказать "Спасибо"