Эллипсоиды, параболоиды, гиперболоиды. Прямолинейные образующие.

Поверхности вращения.

Поверхность S называют поверхностью вращения с осью d, если она составлена из окружностей, которые имеют центры на прямой d и лежат в плоскостях, перпендикулярных данной прямой.

Необходимое и достаточное условие для того, чтобы точка лежала на поверхности вращения S: равенство

Эллипсоид.

Рассмотрим поверхности, которые получаются при вращении эллипса вокруг его оси симметрии. Направив вектор сначала вдоль малой оси эллипса, а затем вдоль большой оси, мы получим уравнения эллипса в следующих видах:

с – малая полуось эллипса. В силу формулы уравнениями соответствующих поверхностей вращения будут:

(a>c). Поверхности с такими уравнениями называются соответственно сжатым и вытянутым эллипсоидом вращения.

Каждую точку M(x,y,z) на сжатом эллипсоиде вращения сдвинем к плоскости y=0 так, чтобы расстояние от точки до этой плоскости уменьшилось в постоянном для всех точек отношении . После сдвига точка попадет в положение M’(x’,y’,z’), где x’=x, y’=y, z’=z. Таким образом, точки эллипсоида вращения переходят в точки поверхности с уравнением :

где b=a. Поверхность, которая в некоторой декартовой системе координат имеет уравнение последнего вида, называется эллипсоидом.

Эллипсоид можно получить из сферы сжатием по плоскостям y=0 и z=0 в отношениях и .

Эллиптический параболоид.

Вращая параболу вокруг ее оси симметрии, мы получаем поверхность с уравнением . Она называется параболоидом вращения. Сжатие к плоскости y=0 переводит параболоид вращения в поверхность, уравнение которой приводится к виду:

Поверхность, которая имеет такое уравнение в некоторой декартовой прямоугольной системе координат, называется эллиптическим параболоидом.

Гиперболический параболоид.

По аналогии с последним уравнением мы можем написать уравнение

Поверхность, которая имеет уравнение последнего вида в некоторой декартовой прямоугольной системе координат, называется гиперболическим параболоидом.

Гиперболический параболоид можно построить следующим образом: зададим две параболы и будем перемещать одну из них так, чтобы ее вершина скользила по другой, оси парабол были параллельны, параболы лежали во взаимно перпендикулярных плоскостях и ветви их были направлены в противоположные стороны. При таком перемещении парабола описывает гиперболический параболоид.

Гиперболический параболоид имеет два семейства прямолинейных образующих. Уравнения одного:

а другого –

Выводятся эти уравнения так же, как и уравнения прямолинейных образующих однополостного гиперболоида.

Однополостный гиперболоид.

Однополостный гиперболоид вращения – это поверхность вращения гиперболы

Вокруг той оси, которая ее не пресекает. По формуле мы получаем уравнение этой поверхности

В результате сжатия однополосного гиперболоида вращения к плоскости y=0 мы получаем однополостный гиперболоид с уравнением

Далее получаем уравнения для прямолинейных образующих однополостного гиперболоида следующим образом:

Последнее уравнение переписываем в виде

=

Рассмотрим прямую линию с уравнениями

где и – некоторые числа, одновременно не равные нулю. Каковы бы ни были эти числа, прямая, удовлетворяющая последнему уравнению лежит на однополостном гиперболоиде. Таким образом, последняя система определяет семейство прямолинейных образующих.

Второе семейство прямолинейных образующих определяется системой

Если вместе с гиперболой мы будем вращать ее асимптоты, то они опишут прямой круговой конус, называемый асимптотическим конусом гиперболоида вращения. При сжатии гиперболоида вращения его асимптотический конус сжимается в асимптотический конус общего однополостного гиперболоида.

Двуполостный гиперболоид.

Двуполостный гиперболоид вращения – это поверхность, получаемая вращением гиперболы

вокруг той оси, которая ее пересекает. По формуле мы получаем уравнение двуполостного гиперболоида вращения

В результате сжатия этой поверхности к плоскости y=0 получается поверхность с уравнением

Поверхность, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат имеет уравнение такого вида, называют двуполостным гиперболоидом. Двум ветвям гиперболы здесь соответствуют две несвязанные между собой части («полости») поверхности, в то время как при построении однополостного гиперболоида вращения каждая ветвь гиперболы описывала всю поверхность.

Асимптотический конус двуполостного гиперболоида определяется так же, как и для однополостного.

Комментарии