Система Orphus
14. Ортогональные преобразования плоскости и их свойства.

Ортогональные преобразования - лин. преобразование, $ \forall \: \vec{a}, \vec{b} \quad (f^\textasciitilde(\vec{a}),f^\textasciitilde(\vec{b}) = (\vec{a}, \vec{b})$

Теорeма 1   Ортогональные преобразования сохраняют длины и углы.

Доказательство.

$\displaystyle \sqrt{\vec{a}, \vec{a}} = \vert\vec{a}\vert$    
$\displaystyle \cos{\alpha} = \frac{(\vec{a},\vec{b})}{\vert\vec{a}\vert\vert\vec{b}\vert}$    

$ \qedsymbol$

Теорeма 2   $ f:P \rightarrow P$ линейное преобразование плоскости, $ e = (\vec{e_1}, \vec{e_2})$ ортонормированный базис. $ f$ ортогонально тогда и только тогда, когда $ e^*$ ортонормированный базис.

Доказательство.
  • $ \Rightarrow$ Пусть $ e^*_1$ , $ e_2^*$ ОНБ, покажем, что $ f$ ортогонально.

    $\displaystyle \vec{a} = \alpha_1 \vec{e_1} + \alpha_2 \vec{e_2} \Rightarrow \vec{a^*} = \alpha_1 \vec{e^*_1} + \alpha_2 \vec{e^*_2}$    
    $\displaystyle \vec{b} = \beta_1 \vec{e_1} + \beta_2 \vec{e_2} \Rightarrow \vec{b^*} = \beta_1 \vec{e^*_1} + \beta_2 \vec{e^*_2}$    
    $\displaystyle (\vec{a},\vec{b}) = (a^*,b^*) = \alpha_1\beta_1 + \alpha_2\beta_2$    

  • $ \Leftarrow$ Ортогональное сохраняет длины и углы.
$ \qedsymbol$

Следствия:
  1. Всякое ортогональное преобразование аффинное.
  2. Композиция ортогональных преобразований ортогональна.
  3. Обратный к ортогональному тоже ортогональный.
Отсюда видно, что ортогонольные преобразования подгруппа группы аффинных преобразований по композици.

Вид ортогональных преобр. Любое ортогональное преобразование задаётся либо формулой 1, либо формулой 2:

\begin{gather*}\begin{cases}x^* = \cos{\phi}x - \sin{\phi}y + c_1\\ y^* = \sin{\... ...phi}y + c_1\\ y^* = \sin{\phi}x - \cos{\phi}y + c_2\\ \end{cases}//\end{gather*}\begin{gather*}\begin{cases}x^* = \cos{\phi}x - \sin{\phi}y + c_1\\ y^* = \sin{\... ...phi}y + c_1\\ y^* = \sin{\phi}x - \cos{\phi}y + c_2\\ \end{cases}//\end{gather*}    

Движение есть преобразование плоскости, сохраняющие расстояние между двумя любыми точками плоскости.

Теорeма 3   Всякое движение есть ортогональное преобразование, всякое ортогональное преобразование есть движение.

Лемма 1   Движение полностью определяется образом треугольника.

Доказательство.
  • Ортогональные преобразования есть движения, поскольку, как уже было доказано ранее, сохраняют длины.
  • Пусть $ f$ . Возьмём равнобедренный прямоугольный треугольник с единичными катетами $ AC$ , $ CB$ . Рассмотрим образ этого треугольника: он также останется прямоугольным с единичными катетами. Своими силами определеим $ g:P \rightarrow P$ :

    $\displaystyle \begin{cases} g(A) = A'\\ g(B) = B'\\ g(C) = C'\\ \end{cases} $

    Оно ортогонально, поскольку переводит ОНБ в ОНБ. $ f \equiv g$ , поскольку одинаково преобразуют треугольник.
$ \qedsymbol$

Теорeма 4   $ \forall \:$   аффинное$ \: f \: \exists g, h_1, h_2: f = h_1h_2g$ . Где $ g$ есть движение, а $ h_1, h_2$ -- сжатия к $ \bot$ прямым.

Лемма 2 (Главные направления)   $ f:P \rightarrow P$ аффинное, $ \exists \: l_1, l_2: l_1 \bot l_2$ и $ f(l_1) \bot f(l_2)$ .

Доказательство. Образом единичной окружности при отображении $ f$ будет эллипс, гдавные оси которого $ d_1$ и $ d_2$ перпендикулярны. Утвердается, что $ l_1=f^{-1}(d_1) \bot l_2 = f^{-1}(d_2)$ . Действительно, малая ось есть ГМТ середин хорд, паралелльных большой оси. При аффинном преобразовании паралелльность сохраняется, а также середина отрезка переходит в середину отрезка. Поэтому $ d_1$ и $ d_2$ перейдут в два диаметра окружности. При этом один будет ГМТ середин хорд, паралелльных второму диаметру. Дальше используется школьная теорема о том, что диаметр, который проходит через центр хорды, ей перпендикулярен. $ \qedsymbol$

Доказательство. [О разложении на сжатия и ортогональное] Пусть $ l_1$ , $ l_2$ те самые основные направления из предыдущей леммы, $ OA=OB=1$ т.е. $ \vec{OA}$ , $ \vec{OB}$ являются ОНБ. Положим: $ A' = f(A)$ , $ O' = f(O)$ и $ B' = f(B)$ . Отметим на соотв. лучах точки $ С$ и $ D$ : $ O'C=O'D=1$ . Тогда существует аффинное $ g$ :

$\displaystyle \begin{cases} g(O) = O'\\ g(A) = C\\ g(B) = D\\ \end{cases} $

При этом оно будет ортоногональным, потому что переводи ОНБ в ОНБ. Сжатия $ h_1$ , $ h_2$ определяются очевидным образом:

$\displaystyle \begin{cases} h_1(O) = O'\\ h_1(C) = C\\ h_1(D) = B'\\ \end{cases} $

$\displaystyle \begin{cases} h_2(O) = O'\\ h_2(C) = A'\\ h_2(D) = D\\ \end{cases} $

Легко видеть, что:

$\displaystyle \begin{cases} h_1h_2g(O) = f(O)\\ h_1h_2g(A) = f(A)\\ h_1h_2g(B) = f(B)\\ \end{cases} $

Поэтому они эквивалентны. $ \qedsymbol$

Image razlo

Система Orphus

Комментарии