Определение. Числовая функция f на множестве всех квадратных матриц порядка n называется детерминантом (или определителем) порядка n, а ее значение на матрице A – детерминантом A, если она обладает следующими тремя свойствами:

1.    Какую бы строку матрицы мы ни взяли, функция является линейным однородным многочленом от элементов этой строки. Для i-й строки матрицы A это значит, что f(A)=++  (1), где ,…, – коэффициенты, не зависящие от элементов i-й строки ,…, , но зависящие от остальных элементов матрицы.

2.    Значение функции на любой вырожденной матрице равно нулю.

3.    Значение функции на единичной матрице равно 1.

Свойство линейности по строке. Функция f на множестве квадратных матриц порядка n обладает свойством линейности по строке тогда и только тогда, когда для каждой строки произвольной матрицы A выполнено следующее: если эта строка есть линейная комбинация , строк p и q, то f(A)= (2), где матрицы  и  получены из A заменой этой строки на p и q.

Док-во.  Пусть функция f обладает свойствами линейности по строке (1). Если i-я строка A есть линейная комбинация , то при любом k элемент  этой строки равен , где  - соответствующие элементы строк p и q. Следовательно, f(A)=+. Группируя члены, мы получим , f(A)=+. Здесь ,…, не зависят от элементов i-й  строки, и потому = и =.

Докажем обратное. Возьмем i-ю строку матрицы A и разложим ее в линейную комбинацию строк единичной матрицы +…+. Последовательно применяя равенство (2) получаем отсюда f(A)= +...+ , где матрицы ,…, получены из A заменой i-й строки на соответствующую строку единичной матрицы. Они не зависят от элементов i-й строки A, а потому значения f на данных матрицах также не зависят от этих элементов.

Свойство линейности по строке можно сформулировать в виде двух отдельных утверждений:

1.    Множитель, общий для всех элементов строки, может быть вынесен за знак детерминатнта.

2.    Если какая-либо из строк матрицы A есть сумма двух строк, то detA равен сумме детерминатов матриц, получаемых из A заменой этой строки на каждое из слагаемых.

Разумеется, если  строка матрицы представлена как линейная комбинация +…+ любого числа s строк, то detA=det+…+det, где ,…, - матрицы, получаемые из A заменой рассматриваемой строки соответственно на ,…,.

Предложение 2. Если к некоторой строке матрицы прибавить другую ее строку, умноженную на число, то детерминант матрицы не измениется.

Док-во. Пусть в матрице A мы заменили i-ю строку  на строку +, i. Тогда по свойству линейности детерминант полученной матрицы A' равен detA'=detA+…+det, где матрица  получается из A заменой i-й строки на j-ю. В эту матрицу строка  входит дважды: на i-м и на  j-м местах. Поэтому матрица вырожденная, и det. Итак, detA=detA'.

Антисимметрия  детерминанта по строкам. Если две строки матрицы поменять местами, то ее детерминант умножится на (-1).

Док-во. Пусть матрица A' получается из A перестановкой i-й и j-й строк. Выполним следующую последовательность преобразований матрицы A, не меняющих детерминанта в силу Предложения 2:

A= = 

(у каждой матрицы еще по три точки сверху и снизу). Детерминант последней матрицы равен детерминанту A и отличается только знаком от детерминанта матрицы A'.

Предложение 8. Какой бы ни был номер строки i, детерминант матрицы A порядка n вычисляется по формуле detA=, где  - дополнительный минор элемента .

Док-во. Для того, чтобы найти коэффициент  при  в формуле (1), сгруппируем все члены в этой формуле , кроме интересующего нас, и обозначим их сумму через q. Тогда detA= Аналогично мы можем  преобразовать разложение по j-му столбцу: detA=. По определению  не зависит от элементов i-й строки, а q содержит все ее элементы кроме . Точно так же, при всех k в дополнительную подматрицу  не входит j-й столбец, и, следовательно,  не зависит от . В частности  не зависит от .Отсюда же видно, что и r не зависит от этого элемента. Заметив это, обозначим через  матрицу, которая получена из матрицы A заменой элемента  на 0, и увидим, что det=q и det=r. Учтем это при вычислении детерминанта матрицы , отличающуюся от A заменой элемента  на 1: det =+r=+r. Отсюда получается нужное значение для .

Предложение 9. Для любой квадратной матрицы detA=det.

Док-во. Определим функцию от матрицы A равенством f(A)=det.Эта функция линейна по столбцам , т.е. по строкам A. Если матрица A вырождена, то вырождена и , и поэтому f(A)= det=0. Наконец = а значит и f(E)=det=1. Таким образом, f удоволетворяет всем условиям в определении детерминанта.

Предложение 10. Столбцы матрицы линейно зависимы, тогда и только тогда, когда матрица вырождена и детерминант ее равен нулю.

Если переставить два столбца матрицы, то ее детерминант умножится на (-1).

Если в матрице в одному из столбцов прибавить другой, умноженный на число, то ее детерминант не изменится.

Предложение 11. Для любых двух квадратных матриц одного порядка detAB=detAdetB.

Док-во. Пусть матрица A невырождена. Разложим ее в произведение элементарных матриц. Тогда AB=det… detdetB. Отсюда следует нужное утверждение.