2. Скалярное произведение и его свойства. Выражение скалярного произведения в координатах. Формулы для определения расстояния между точками и угла между направлениями через координаты векторов в ортонормированном базисе.

Под углом между векторами понимается угол между векторами, равными данным и имеющим общее начало. В некоторых случаях будем указывать, от какого вектора и в каком направлении угол отсчитывается. Если такого указания не сделано, углом между векторами считается тот, который не больше . Если угол прямой, то векторы называютя ортогональными.

Скалярным произведением 2х векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Если хоть 1 из векторов нулевой, то угол не определен и скалярное произведение по определению равно нулю. Скалярное произведение векторов и обозначается или . Таким образом, мы можем написать , где угол между векторамии . Необходимо подчеркнуть следующее обстоятельство: скалярное произведение может быть определено только после того, как будет выбрана определенная единица измерения длин векторов. Иначе приведенное выше определение не имеет смысла.

Скалярное умножение имеет следующие очевидные свойства:

1)Коммутативность: для любых и выполнено

2)для любого вектора

3)Скалярное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда сомножители ортогональны или хотя бы один из них равен нулю.

4)Векторы ортнормированного базиса удовлетворяют равенствам: , .

Предложение 1.

Если базисные векторы попарно ортогональны, то компоненты любого вектора находятся по формулам: , , ; в частности, если базис ортонормированный : , , (1) и .

Доказательство: Пусть , причем каждое слагаемое коллинеарно соответствующему базисному вектору. Из предложения 1 параграфа 1 (см. предыдущий билет) мы знаем, что , где выбирается знак в зависимости от того, одинаково или противоположно направлены и . Как видно из рисунка , где - угол между векторамии . Итак, . Аналогично вычисляются и остальные компоненты.

Косинусы углов между вектором и базисными векторами декартовой прямоугольной системы координат называются направляющими косинусами этого вектора. Направляющие косинусы — это компоненты вектора .Их отличительная особенность состоит в том, что сумма их квадратов равна квадрату длины , т.е. 1.

Предложение 2. Для любых векторов, и и любых чисел и выполнено равенство: . В частности, и .

Доказательство: Если , то утверждение очевидно. Пусть . Примемза первый вектор базиса, а остальные выберем ортогонально к нему и между собой. Число - первая компонента вектора . Точно так же и - первые компоненты векторов и . Согласно предложению 5 параграфа 1 (при умножении вектора на число все его компоненты умножаются на это число, при сложении векторов складываются их соответствующие компоненты) получаем: . Отсюда прямо получается доказываемое равенство.

Легко показать, что такая же ф-ла справедлива и для линейной комбинации любого числа векторов. Используя коммутативность скалярного умножения, мы получаем тождество

Теорема 1. Если базис ортонормированный, то скалярное произведение векторов и выражается через их компоненты и по формуле .

Доказательство. Подставим вместо его разложение и воспользуемся предложением 2: = . Теперь доказываемое следует из ф-лы (1).

Требование ортонормированности базиса очень существенно.

Теорема 1 позволяет выписать выражение длины вектора через его компоненты в ортонормированном базисе: (2), а также выражение косинуса угла между векторами = .

Используя ф-лу (2) мы можем вычислить расстояние между точками, есл заданы их координаты в декартовой прямоугольной системе координат. Пусть точки А и В имеют координаты (x, y, z) и . Тогда расстояние между ними равно =

Комментарии