3. Векторное произведение и его свойства. Выражение векторного произведения через базисные векторы и координаты сомножителей в ортонормированном базисе. Геометрический смысл векторного произведения.

Упорядоченная тройка некомпланарных векторов , и называется правой, если кратчайший поворот от вектора к вектору виден из конца вектора совершающимся против часовой стрелки. В противном случае упорядоченная тройка будет являться левой.

Векторным произведением неколлинеарных векторов и называется вектор такой, что: 1), где - угол между векторами и 2)Вектор ортогонален и ортогонален 3) Тройка векторов , и - правая.

Векторное произведение векторов и обозначается или .

Предложение 1. Векторное умножение антикоммутативно, т.е для любых векторов и :

Теперь можно получить свойство линейности смешанного и векторного произведений по каждому из сомножителей. Применим предложение 2 параграфа 4 (см. предыдущий билет) к скалярному произведению получим : =. Мы можем переставить местами сомножители, раскрыть скобки и выполнить обратную перестановку. Например : = (1)

Предложение 2. Для любых векторов , и и любых чисел и имеет место равенство: =.

Док-во: Правой части формулы (1) можно придать вид . По предложению 2 параграфа 4 (см. предыдущий билет) получаем: =. Так как это верно для любого вектора , мы можем, выбрав ортонормированный базис подставить на место последовательно каждый вектор этого базиса. В силу предложения 1 параграфа 4 (см. предыдущий билет) мы получим равенство всех компонентов векторов и , а отсюда и равенство векторов, которое нужно было доказать.

Линейность векторного произведения по 2ому сомножителю можно получить из свойства антикоммутативности.

Если заданы разложения векторов и по векторам некоторого базиса , то мы можем раскрыть скобки: =,=++(2). Здесь использовалась антикоммутативность и тот, что векторное произведение 2х одинаковых сомножителей — нулевой вектор. Поэтому из формулы (2) следует теорема 2.

Теорема 2. В положительно ориентированном ортнормированном базисе векторное произведение выражается через компоненты сомножителей формулой =++. Если базис ориентирован отрицательно, перед правой частью этой формулы надо поставить знак минус.

Комментарии