№1

Мн-ва X и Y называются эквивалентными (X~Y), если:

1) соответствует единственный элемент мн-ва Y

2) соответствует некоторый элемент мн-ва X

3) Разным элементам мн-ва X соответствуют разные значения мн-ва Y

Если мн-во эквивалентно мн-ву N, то оно счетно.

Любое бесконечное подмн-во счетного мн-ва – счетное мн-во.

Объединение конечного или счетного количества счетных мн-в есть счетное мн-во.

Т. Q-счетно.

Д.

Мн-во, не являющееся конечным или счетным, называется несчетным.

Т. R-несчетно.

Д. Пусть счетно. Тогда все элементы мн-ва содержатся в последовательности , где Покажем, что существует число , не содержащееся в последовательности . Выберем число так, чтобы , , . Вообще, выберем так, чтобы , , . Тогда при любом . Это противоречит предположению о том, что любое число содержится в последовательности . Таким образом, мн-во не является счетным, а поэтому и мн-во R также несчетно.

Комментарии