№13
Последовательность
называют фундаментальной, если она удовлетворяет условию Коши:
(1). Докажем, что фунд. Последовательность является ограниченной.
Д. Пусть
=1,
тогда согласно условию Коши найдется номер
такой, что для всех
и для всех
выполняется неравенство
,
и, в частности,
.
Т.к.
для всех
,
то при всех
справедливо неравенство
,
где С=max
.
Это означает, что
- ограниченная последовательность.
Т. (критерий Коши) Для того, чтобы последовательность имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.
Необходимость: Пусть
последовательность
имеет конечный предел, равный a. По
определению предела
(2). Полагая в (2) сначала p=n,
а затем p=m и
используя неравенство для модуля суммы (разности), получаем
.
Следовательно, для любого
и для любого
выполняется неравенство
,
т.е. выполняется условие (1) при
.
Достаточность: Пусть
- фунд. последовательность. Докажем, что она имеет конечный предел.
По определению фунд. последовательности
(3). Т.к. фунд. последовательность
является ограниченной, то по теореме Больцано-Вейерштрасса она
содержит сходящуюся подпоследовательность
.
Пусть
.
Покажем, что число a является пределом
исходной последовательности
.
По определению предела
(5). Пусть
.Фиксируем
в (5) номер
(такой номер найдется, так как
при
).
Тогда при m=
и при всех
в силу (3) выполняется неравенство
(6). Из (5) и (6) следует, что при всех
справедливо неравенство
,
т.е.
.