№13

Последовательность называют фундаментальной, если она удовлетворяет условию Коши: (1). Докажем, что фунд. Последовательность является ограниченной.

Д. Пусть =1, тогда согласно условию Коши найдется номер такой, что для всех и для всех выполняется неравенство , и, в частности, . Т.к. для всех , то при всех справедливо неравенство , где С=max. Это означает, что - ограниченная последовательность.

Т. (критерий Коши) Для того, чтобы последовательность имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.

Необходимость: Пусть последовательность имеет конечный предел, равный a. По определению предела (2). Полагая в (2) сначала p=n, а затем p=m и используя неравенство для модуля суммы (разности), получаем . Следовательно, для любого и для любого выполняется неравенство , т.е. выполняется условие (1) при .

Достаточность: Пусть - фунд. последовательность. Докажем, что она имеет конечный предел. По определению фунд. последовательности (3). Т.к. фунд. последовательность является ограниченной, то по теореме Больцано-Вейерштрасса она содержит сходящуюся подпоследовательность . Пусть . Покажем, что число a является пределом исходной последовательности . По определению предела (5). Пусть .Фиксируем в (5) номер (такой номер найдется, так как при ). Тогда при m= и при всех в силу (3) выполняется неравенство (6). Из (5) и (6) следует, что при всех справедливо неравенство , т.е. .

Комментарии