№14

Коши.

Число A называется пределом функции в точке a, если эта функция определена в некоторой окрестности точки a, за исключением, быть может, самой точки a, и .

Гейне.

Число A называется пределом функции в точке a, если эта функция определена в некоторой проколотой окрестности точки a, т.е. , и для любой последовательности , сходящейся к a и такой, что для всех , соответствующая последовательность значений функции сходится к числу A.

Эквивалентность двух определений предела.

В обоих определениях предполагается, что функция f определена в некоторой проколотой окрестности точки a, т.е. существует число такое, что .

а) Пусть число A есть предел функции f в точке a по Коши; тогда и (1). Рассмотрим произвольную последовательность , сходящуюся к числу a и такую, что для всех . Согласно определению предела последовательности для найденного в (1) числа можно указать номер такой, что , значит (2), где , причем условие (2) выполняется для любой последовательности такой, что и . => , т.е. число A – предел функции f(x) в точке a по Гейне.

б) Докажем, что если число A есть предел функции f(x) в точке a по Гейне, то это же число является пределом функции f по Коши. Пусть это не так. Тогда (3). Согласно (3) в качестве можно взять любое число из полуинтервала . Возьмем , где , и обозначим . Тогда в силу (3) для любого выполняются: (4), (5).

Комментарии