15. Существование односторонних пределов у монотонных функций.

Если функция определена и является монотонной на отрезке , то в каждой точке эта ф-ция имеет конечные пределы слева и справа, а в т. соответственно левый и правый пределы.

Пусть ф-ция является возрастающей на отрезке . Зафиксируем т. . Тогда

. В силу этого условия м-во значений, которые ф-ция принимает на промежутке , ограничено сверху, и по теореме о точной верхней грани существует

, где . Согласно определению точной верхней грани выполняются условия:

Обозначим, тогда , т.к. . Если , т.е , то

, т.к. -возрастающая ф-ция. Из предыдущих условий следует, что . Согласно определению предела слева это означает, что существует . Итак . Аналогично можно доказать, что ф-ция f имеет в т. предел справа, причем

Следствие. Если функция определена и возрастает на отрез­ке_{, , то}

Комментарии