16. Непрерывность функции в точке. Непрерывность сложной функции.

1.Понятие непрерывности функции.

Определение. Функция f(x), определенная в некоторой окрестности точки a, называется непрерывной в точке а, если (1)

Таким образом, функция f непрерывна в точке а, если выполнены следующие условия:

1. функция f определена в некоторой окрестности точки а, т.е. существует число такое, что U;

2. существует ;

3. A = f(a).

Определение непрерывности функции f(x) в точке а, выраженное условием (1), можно сформулировать с помощью неравенств (на языке ), с помощью окрестностей и в терминах последовательностей соответственно в виде

Подчеркнем, что в определении непрерывности, в отличие от определения предела, рассматривается полная, а не проколотая окрестность точки а, и пределом функции является значение этой функции в точке а.

Назовем разность x – a приращением аргумента и обозначим x, а разность f(x) – f(a) – приращением функции, соответствующим данному приращению аргумента x, и обозначим y. Таким образом,

x=x – a, y=f(x) – f(a) = f(a+x) – f(a).

При этих обозначениях равенство (1) примет вид

Таким образом, непрерывность функции в точке означает, что бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

По аналогии с понятием предела слева (справа) вводится понятие непрерывности слева (справа). Если функция f определена на полуинтервале и , т.е. f(a – 0) = f(a), то эту функцию называют непрерывной слева в точке а.

Аналогично, если функция f определена на полуинтервале и f(a + 0) = f(a) , то эту функцию называют непрерывной справа в точке а.

Например, функция f(x) = [x] непрерывна справа в точке x = 1 и не является непрерывной слева в этой точке, т.к. f(1 – 0) = 0, f(1 + 0) = f(1) = 1.

Очевидно, функция непрерывна в данной точке тогда и только тогда, когда она непрерывна как справа, так и слева в этой точке.

2.Точки разрыва.

В п.2 будем предполагать, что функция определена в некоторой проколотой окрестности точки а.

Точку а назовем точкой разрыва функции f, если эта функция либо не определена в точке а, либо определена, но не является непрерывной в точке а.

Следовательно, а – точка разрыва функции f, если не выполняется по крайней мере одно из следующих условий:

1)

2) существует конечный

3) A = f(a).

Если а – точка разрыва функции ф, причем в этой точке существуют конечные пределы слева и справа, то точку а называют точкой разрыва первого рода.

Комментарии