17.Ограниченность ф-ции непрерывной на отрезке

Т. Вейерштрасса: Если ф-ция непрерывна на отрезке ], то она ограничена т.е.

Д. Предположим противное, тогда

(4).

Полагая в (4) С = 1,2, ...,n,..., получим, что

(5).

Последовательность ограничена, так как для всех . По теореме Больцано-Вейерштрасса из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность, т. е. существуют подпоследова­тельность и точка такие, что

(6),

где в силу условия (5) для любого выполняется неравенство

(7).

Из условий (6) и (7) следует, что , а из условия (6) в силу непрерывности функции в точке получаем

(8).

С другой стороны, утверждение (5) выполняется при всех и, в частности, при , т. е.

,

откуда следует, что , так как при .

Это противоречит равенству (8), согласно которому последователь­ность имеет конечный предел. Поэтому условие (4) не может выполняться, т. е. справедливо утверждение (3).

Комментарии