18. Теорема Вейерштрасса

Если функция f непрерывна на отрезке [a,b], то она достигает своей точной верхней и нижней грани, т.е.

(9)

(10)

Так как непрерывная на отрезке функция f(x) ограничена, согласно теореме Вейерштрасса об ограниченности непрерывной на отрезке функции, т.е. множество значений, принимаемых функцией f на отрезке [a,b], ограничено, то существуют и

Докажем утверждение (9). Обозначим М = . В силу определения точной верхней грани выполняются условия

(11)

(12)

Полагая получим в силу условия (12) последовательность, где, такую, что для всехвыполняются условия

(13)

(14)

Из соотношений (11), (13) и (14) следует, что

откуда получаем

(15)

Как и в теореме 3, из условия (13) следует, что существуют подпоследовательностьпоследовательностии точкатакие, что

, где.

В силу непрерывности функции f в точке

(16)

С другой стороны,— подпоследовательность последова­тельности , сходящейся, согласно условию (15), к числу М.

Поэтому

(17)

В силу единственности предела последовательности из (16) и (17) заключаем, что. Утверждение (9) доказано.

Аналогично доказывается утверждение (10). •

Замечание 4. Теорема 4 неверна для интервалов: функция, непре­рывная на интервале, может не достигать своих точных граней. Например, функцияне достигает на интервале (0,1) своей точной нижней грани, равной нулю, и точной верхней грани, равной единице.

Комментарии