20. Теорема об обратной ф-ции.

Если функция непрерывна и строго возрастает на отрезке , то на отрезке определена функция , обратная к f, непрерывная и строго возрастающая.

Существование обратной функции.

Обозначим . Так как f — возрастающая функция, то для всех выполняется неравенство , где , , и в силу непрерывности f (следствие из теоремы 6) множество значений функции

Согласно определению обратной функции (§ 9, п. 9) нужно доказать, что для каждого уравнение

(25)

имеет единственный корень , причем .

Существование хотя бы одного корня уравнения (25) следует из теоремы 6. Докажем, что уравнение (25) имеет на отрезке [a,b] единственный корень.

Предположим, что наряду с корнем уравнение (25) имеет еще один корень , где; тогда , тогда .

Пусть, например, . Тогда в силу строгого возрастания функции f на отрезке [a,b] выполняется неравенство . С другой стороны, 0. Отсюда следует, что неравенство не может выполняться. Следовательно, . Существование обратной функции доказано, т. е. на отрезке определена функция, обратная к f, причем и

Монотонность обратной функции. Докажем, что — строго возрастающая на отрезке функция, т. е.

(27)

Предположим противное; тогда условие (27) не выполняется, т. е.

(28).

Обозначим , , тогда в силу (28) и , согласно равенству (26).

Так как f — строго возрастающая функция, то из неравенства следует неравенство , т. е. , что невозможно, так как в силу (28). Таким образом, утверждение (28) не может выполняться, и поэтому g(y) — строго возрастающая функция.

Непрерывность обратной ф-ции.

Непрерывность обратной функции. Пусть — произвольная точка интервала (A,B). Докажем, что функция g непрерывна в точке . Для этого достаточно показать, что справедливы равенства

(29)

где и пределы функции g соответственно слева

и справа в точке .

По теореме о пределах монотонной функции (§ 10) пределы функции g слева и справа в точке существуют и выполняются неравенства

Пусть хотя бы одно из равенств (29) не выполняется, например, , тогда

(31)

Так как для всех выполняется неравенство , где а при всех справедливо неравенство , то из условия (31) следует, что

интервалне принадлежит множеству значений

функции g. Это противоречит тому, что все точки отрезка [a,b], в том числе и точки интервала , принадлежат множеству E(g). Итак, первое из равенств (29) доказано. Аналогично доказывается справедливость второго из равенств (29).

Тем же способом устанавливается, что функция g непрерывна справа в точке A и непрерывна слева в точке B.

Замечание 6. Если функция f непрерывна и строго убывает на отрезке [a,b], то обратная к ней функция g непрерывна и строго убывает на отрезке

Замечание 7. Аналогично формулируется и доказывается теорема о функции g, обратной к функции f, для случаев, когда функция f задана на интервале (конечном либо бесконечном) и полуинтервале.

Если функция f определена, строго возрастает и непрерывна на интервале (a,b), то обратная функция g определена, строго возрастает и непрерывна на интервале (A,B), где , .

Комментарии