№5

Т. Числовая последовательность имеет только один предел.

Д. Пусть последовательность имеет 2 различных предела a и b, причем a<b. Выберем таким, что -окрестности точек a и b не пересекались. Возьмем например . Т.к. число a – предел последовательности , то по заданному можно найти номер N такой, что для всех . Поэтому вне интервала может оказаться лишь конечное число членов последовательности. В частности, интервал может содержать лишь конечное число членов последовательности. Это противоречит тому, что b – предел последовательности. Значит не может быть двух пределов у последовательности.

Последовательность называется ограниченной снизу, если . Последовательность, ограниченную и сверху и снизу называют ограниченной : .

Т. Если последовательность имеет предел, то она ограничена.

Д. Пусть имеет предел a. По определению предела для =1 найдем номер N такой, что при всех имеет место неравенство . Так как модуль суммы не превосходит суммы модулей, то . Поэтому при всех n>N выполняется неравенство . Положим с=max, тогда при всех , т.е. последовательность ограничена.

Комментарии