Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа

Лемма 1. Если ф-ция f(x) имеет в точке производную n-ого порядка, то существует многочлен степени не выше n такой, что:

,,(1)

Этот многочлен представляется в виде =++...+(2)

– многочлен Тейлора n-ого порядка для функции f(x) в точке

Лемма 2. Пусть ф-ции (x) и (x) опр-ны в -окр-ти точки и удовлетворяют след. усл-ям:

1)для каждого сущ-ют и

2. =...==0

=...==0

3. , для (проколотая окрестность точки) и для

Тогда для каждого сущ-ет точка , принадлежащая интервалу с концами и x такая, что:

Теорема 1. Пусть сущ-ет >0 такое, что ф-ция f(x) имеет в -окрестности точки производные до (n+1)-ого порядка включительно. Тогда для любого найдется точка , принадлежащая интервалу с концами x и такая, что:

f(x)=+...++ (4)

Док-во: Пусть , - многочлен Тейлора для ф-ции f(x). Обозначим: (x)=f(x)-(x). (5)

Т.к. Многочлен (x) удовлетворяет в силу Леммы 1 усл-ям (1), то из рав-ва (5) следует, что

()='()=''()=...=()=0

Рассм.ф-ции , . Эти ф-ции удовлетворяют усл-ям Леммы 2, и поэтому для них вып-ся: =(6) , , т.к. ,. Из равенств (6) и (5) следует ф-ла (4). Ч.т.д.

Замечание. Ф-цию называют остаточным членом ф-лы Тейлора в форме Лагранжа. Ф-ла (4) справедлива и при x=.

Комментарии