Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.

Теорема 2. Если существует , то справедлива формула:

f(x)=+ (7)

Док-во: Из сущ-ния =>f(x) определена и имеет производные до (n-1)-го порядка включительно в -окрестности _.

Пусть , , где . ((x) - многочлен Тейлора)

В силу того, что ()='()=''()=...=()=0 и ф-ции (x) и (x) удовлетворяют условиям Леммы 2 (см.выше), то получаем:

= (ф-ла 2) ,где и .

Пусть x→x₀ , тогда из предыдущего нер-ва => и в силу сущ-ния сущ-ет

===0. Таким образом, правая часть ф-лы 2 имеет при предел, равный нулю, а поэтому сущ-ет предел левой части этой ф-лы, также равный нулю. Это означает, что , или , откуда следует рав-во (7).

Замечание. Ф-лу (7) часто называют локальной формулой Тейлора. Разложить ф-цию f(x) по ф-ле Тейлора в окр-ти точки до - значит представить её в виде (7).

Комментарии