Теоремы о среднем Ролля, Лагранжа, Коши.

1. Теорема Ролля о нулях производной. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], дифференцируема на интервале (a, b) и принимает в концах этого отрезка равные значения, т.е. f(a)=f(b) (1), то сущ-ет точка такая что (2).

Док-во: Обозначим M=sup f(x), m=inf f(x). По т.Вейерштрасса (о достижении точных верхней и нижней грани) на отрезке [a,b] существует такие точки ,что.

Если m=M то f(x)=const, и в кач-ве можно взять любую точку интервала (a,b) .

Если и поэтому . В силу усл-я (1) по крайней мере одна из точек является внутренней точкой отрезка [a,b]. Пусть, например, , тогда сущ-ет число , такое что: . Так как для всех выполняется усл-е , то по т.Ферма , то есть усл-е (2) выполняется при . Аналогично рассматривается случай, когда .

Геометрический смысл т.Ролля: при усл-ях теоремы сущ-ет значение такое, что касательная к графику ф-ции y=f(x) в точке параллельна оси Ox.

Замечание. Все условия т.Ролля существенны.

2. Теорема Лагранжа. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], дифференцируема на интервале (a, b), то найдется такая точка ,что : (3).

Док-во: Рассм.ф-цию , где число выберем так, чтобы выполнялось усл-е . Отсюда находим: (4). Так как ф-ция непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема на интервале (a, b) и принимает в концах этого отрезка равные значения, то по т.Ролля сущ-ет точка такая что . Отсюда в силу усл-я (4) получаем: (5) , полученное равенство равносильно равенству (3).

Геометрическая интерпретация т.Лагранжа: существует значение такое, что касательная к графику функции в точке параллельна секущей, соединяющей точки A(a,f(a)) и B(b,f(b)).

Замечание. Пусть функция f(x) удовлетворяет усл-ям т.Лагранжа. Если , а приращение таково, что точка то применив т.Лагранжа к ф-ции f(x) на отрезке с концами и (причем может быть и отрицательным), получим: (6), где - некоторая внутренняя точка данного отрезка.

Д-во: а)Пусть тогда и поэтому . Полагая, что получаем (7), где

б)аналогично, если , то и поэтому . Полагая, что , снова получаем рав-во (7), где .

Следовательно, рав-во (6) можно записать в виде =(8), где . Данную ф-лу называют формулой конечных приращений Лагранжа.

Некоторые следствия из т.Лагранжа.

Следствие 1. Если функция f(x) дифференцируема на интервале (a,b) и f'(x)=0 для всех то f(x)=C=const, .

Д-во. Пусть фиксированная точка интервала (a,b), x - любая точка этого интервала. Применяя т.Лагранжа к функции f(x) на отрезке с концами и x, получаем , где , откуда

Следствие 2. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], дифференцируема на интервале (a,b) и для всех вып-ся рав-во , где k - постоянная, то , , то есть f(x) - линейная ф-ция.

Д-во. Применяя т.Лагранжа к ф-ции f(x) на отрезке [a,x], где получаем , откуда следует, что , где .

Следствие 3. Пусть функция f(x) дифференцируема на интервале (a,b), за исключением, может быть, точки и непрерывна в точке . Тогда если сущ-ет конечный или бесконечный (9) то в точке сущ-ет левая производная, причем она равна А(10). Аналогично, если сущ-ет (11) то сущ-ет правая производная в точке и она равна В(12).

Д-во. Пусть приращение таково, что и точка . Запишем рав-во (8) в виде , где (13). Если сущ-ет предел (9), т.е. =A, то правая часть (13) имеет предел, равный А, а поэтому сущ-ет предел в левой части (13) и справедливо рав-во (10). Аналогично, из соотношения (11) следует рав-во (12).

Следствие 4. Если ф-ции и дифференцируемы при и удовлетворяют усл-ям , при , то при .

Д-во: применяя т.Лагранжа к ф-ции на отрезке где , получаем , так как . Отсюда, учитывая, что и , получаем , то есть при

3. Теорема Коши. Если ф-ции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a,b], дифференцируемы на интервале (a,b), причем во всех точках этого интервала, то найдется хотя бы одна точка такая что (14)

Д-во: Рассмотрим ф-цию , где число выберем так, чтобы выполнялось усл-е , которое равносильно следующему : . Заметим, что так как в противном случае согласно т.Ролля существовала бы точка такая, что вопреки условиям теоремы Коши. Итак, и из рав-ва (14) следует, что (15). Так как ф-ция при любом непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема на интервале (a,b), а при значении , определяемом формулой (15), принимает равные значения в точках a и b, то по т.Ролля сущ-ет точка такая, что , то есть , откуда . Из этого рав-ва и ф-лы (15) следует утверждение (14).

Замечание. Теорема Лагранжа — частный случай теоремы Коши.

Замечание. Теорему Коши нельзя получить применением теоремы Лагранжа к числителю и знаменателю дроби, стоящей в левой части рав-ва (14). Эту дробь по т.Лагранжа можно записать в виде где и . Но, вообще говоря, .

Комментарии