1. Линейность неопределенного интеграла

Опр: Функция F(x) называется первообразной функции f(x) на промежутке I,

если . В конце промежутка, если он принадлежит I, производная односторонняя. Если не оговорено обратное, то функции считаются комплекснозначными.

Опр: Неопределенным интегралом функции f(x) на промежутке I называется совокупность всех ее первообразных, обозначается как f(x)dx . Если F(x)- фиксированная первообразная, то f(x)dx=F(x)+C

1. Из определения вытекает, что и (f(x)dx)'=f(x). Второе равенство понимаем так: Производная любой из функций, составляющих неопределённый интеграл, даёт один и тот же результат, равный подынтегральной функции (это определение первообразной). Из двух написанных равенств получаем взаимную обратность дифференцирования и интегрирования.

2. Имеет место равенство: ,где k- произвольная const.

Док-во: Обозначим F(x)-первообразная от f(x), G(x)-первообразная для kf(x).Тогда из равенства следует , где C- const.Равенство верно, тк производные левой и правой частей одинаковы: , G(x)- первообразная для kf(x), =kf(x), постоянный множитель вынесли за знак производной.

Итак, постоянный множитель можно вынести за знак интеграла.

3. Интеграл от суммы равен сумме интегралов:

Пусть первообразная для f(x) равна F(x),

для g(x) равна G(x) ,

для f(x)+g(x) равна H(x) .

Тогда равенство означает, что H’(x)=F(x)+G(x)+C, где С=const .

Тк H'(x)=f(x)+g(x) и (F(x)+G(x)+C)'=F'(x)+G'(x)=f(x)+g(x), => равенство верно; воспользовались тем, что производная суммы равна сумме производных.

Свойства 2 и 3 называются свойствами линейности неопределённого интеграла. Из них следует, что для любых постоянных и

и

Интегрирование по частям.

Пусть U(x) и V(x) дифференцируемы на промежутке I.

Тогда . (Интегрирование по частям.)

Если существует один из интегралов, то существует и второй. И равенство имеет место.

Док-во:

,

чтд

Интегрирование подстановкой. (Замена переменной в неопр.интеграле)

ТОЛЬКО для действительных функций!!!

Пусть на промежутке I. Далее, пусть х=(t) – дифференцируемая функция на промежутке I, причем (I) I. Тогда .

Док-во:

F’(x)=(x), x. По производной сложной функции:

чтд

Комментарии