Интегрирование рациональных функций

Для интегрирования рац.функций типа где P(x) и Q(x) – полиномы, используется следующая последовательность шагов:

1. Если дробь неправильная,(степень Р(х) больше степени Q(x)), преобразовать ее в правильную, выделив целое выражение.

2. Разложить Q(x) на произведение одночленов или несократимых квадратичных выражений.

3. Разложить рациональную дробь на простейшие дроби, используя метод неопределенных коэффициентов.

4. Вычислить интегралы от простейших дробей.

Рассмотрим шаги подробней:

1*) Неправильная дробь = многочлен +правильная дробь.

Простейшие правильные дроби – четырех типов:

, для n=2,3,…

. Интеграл не табличный, требует вывода! Выделяем внизу полный квадрат, замена, получаем две простые дроби. Дальше возимся с ними.

… Аналогично указанному выше, выделяем полный квадрат, замена, разбиваем на два интеграла и правильными дробями n-ной степени, Далее считаем их и подставляем в искомое, обратная замена.

В интегрировании рациональных функций наша задача сводится к тому, чтобы привести заданную дробь к одному из 4 видов.

Остальные шаги понятны.

Комментарии