Интегрирование рациональных функций
Для интегрирования
рац.функций типа
где
P(x) и Q(x)
– полиномы, используется следующая последовательность шагов:
Если дробь неправильная,(степень Р(х) больше степени Q(x)), преобразовать ее в правильную, выделив целое выражение.
Разложить Q(x) на произведение одночленов или несократимых квадратичных выражений.
Разложить рациональную дробь на простейшие дроби, используя метод неопределенных коэффициентов.
Вычислить интегралы от простейших дробей.
Рассмотрим шаги подробней:
1*) Неправильная дробь = многочлен +правильная дробь.
Простейшие правильные дроби – четырех типов:
,
для n=2,3,…
.
Интеграл не табличный, требует вывода! Выделяем внизу полный квадрат,
замена, получаем две простые дроби. Дальше возимся с ними.
…
Аналогично указанному выше, выделяем полный квадрат, замена,
разбиваем на два интеграла и правильными дробями n-ной
степени, Далее считаем их и подставляем в искомое, обратная замена.
В интегрировании рациональных функций наша задача сводится к тому, чтобы привести заданную дробь к одному из 4 видов.
Остальные шаги понятны.