Интегрирование иррациональных и трансцендентных функций.

Для интегрирования иррациональных функций, содержащих , используем подстановку , где n- наименьшее общее кратное знаменателей всех дробных степеней, входящих в данную функцию, если она содержит несколько иррациональных степеней х.

Рациональная функция x под знаком корня n-ной степени, т.е. выражения типа: интегрируется с помощью подстановки .

Интегрирование иррациональных функций, содержащих , , делается с тригонометрическими и гиперболическими подстановками.

Рассмотрим вычисление интегралов вида , где R – рациональная функция х и корня.

1. Преобразуем подкоренное выражение, выделяем полный квадрат. Делаем замену.

,замена ,

2. Из замены мы получим интеграл одного из трех видов:

1.

Подстановка для интегралов вида 1:

Тригонометрическая: ,, ,

Гиперболическая:

Подстановка для интегралов вида 2:

Тригонометрическая: ,, ,

Подстановка для интегралов вида 3:

Тригонометрическая: ,, ,

Гиперболическая:

Вообще, вместо тригонометрических подстановок в случаях 1,2,3, можно использовать подстановки: 1. x=r ctg t ; 2. x= r cos t ; 3. x= r

Для интегрирования трансцендентных функций (функции не являющихся алгебраическими, т.е. показательные, логарифмические и тригонометрические функции)

1. - многочлен .

Используем метод интегрирования по частям или методом неопределенных коэффициентов, отыскивая результат в виде , где Q(x) многочлен той же степени, что и P(x).

Но можно воспользоваться результатом:

Можно воспользоваться этим, кроме знакомого интегрирования по частям

Все эти результаты получаются из неоднократного применения метода интегрирования по частям.

Если тригонометрический интеграл, то можно (и нужно!!!) воспользоваться тригонометрическими формулами понижения степени.

Комментарии