Теорема Кантора о вложенных отрезках

Последовательность отрезков , где , стягивающаяся, если

-

- = 0

Т. Если последовательность отрезков является стягивающейся, то существует единственная точка, принадлежащая всем отрезкам этой последовательности.

Д.

а) существование:

По т. об отделимости числовых множеств заключаем, что =с, причем , т.е. точка с, принадлежащая всем отрезкам.

б) единственность:

Пусть две различные точки с и c', принадлежащие всем отрезкам последовательности . Пусть c<c'. Тогда c<c' при любом , откуда c'-c=>0 при любом , что противоречит условию = 0. Итак =0, т.е. c'=c.

Комментарии