Теорема Вейерштрасса о пределе монотонной ограниченной последовательности.

Если последовательность является возрастающей и ограниченной сверху, то (аналогично для убывающей и ограниченной снизу последовательности )

Доказательство:

Если ограничена сверху,то по теореме о существовании точной верхней грани,существует т.в.г. этой последовательности(обозначим а):

1) ;

2) ;

Т.к. ̶ возраст.посл., то

Отсюда следует, что , т.е. По определению предела, , чтд. Аналогично для inf x_n.

Комментарии