Теорема Больцано-Вейерштрасса.

Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Док-во:

Пусть - ограниченная последовательность. Тогда . Разобьем отрезок пополам точкой d. Тогда по крайней мере один из отрезков [a,d], [d,b] содержит бесконечно большое число членов последовательности . Если оба отрезка обладают этим свойством, возьмем, например, правый отрезок (и будем так поступать в дальнейшем). Выбранный отрезок, содержащий бесконечное число членов данной последовательности, обозначим , его длина равна . Разделив отрезок пополам, выберем указанным выше способом из двух получившихся отрезков отрезок , содержащий бесконечное число членов последовательности . Продолжая эти рассуждения, получим последовательность отрезков таких, что:

1) ;

2) при .

Значит, - стягивающаяся последовательность отрезков. По т.Кантора существует единственная точка c, принадлежащая всем отрезкам, т.е. (1). Покажем, что найдётся подпоследовательность последовательности такая, что (2). Т.к. отрезок содержит бесконечное число членов последовательности , то . Отрезок также содержит бесконечное число членов последовательности , поэтому . Вообще, , где . Следовательно, существует подпоследовательность последовательности такая, что (3). Условия (1) и (3) означают, что точки c и принадлежат отрезку , и поэтому расстояние между ними не превосходит длины отрезка , т.е. (4). Т.к. - б.м.п., то из (4) следует, что справедливо утверждение (2).

Комментарии