Теорема 6 (теорема Коши о промежуточных значениях. Если функция f непрерывна на отрезке [а, b] и , то для каждого значения С, заключенного между f(а) и f(b), найдется точка K[а, b] такая, что f(K) = С.

О Обозначим f(а) = A, f(b) = В. По условию АВ. Пусть, например, А < В. Нужно доказать, что

:f(K)= С (24)

Если С=А, то утверждение (24) выполняется при K=а, а если С=B, то (24) имеет место при K=b. Поэтому достаточно рассмотреть случай А < С < В.

Пусть ф(х) = f(x) - С, тогда ф(a) =A-C<0, ф(b) = В - С > 0, и по теореме 5 найдется точка такая, что ф() = 0, т. е. f() = C. Утверждение (24) доказано. •

Следствие. Если функция f непрерывна на отрезке [a,b], m = inf f(x), М = sup f(x) (), то множество значений, принимаемых функцией f на отрезке [а, b], есть отрезок [m,М].

О Для всех выполняется неравенство , причем согласно теореме Вейерштрасса функция f принимает на отрезке [а, b] значения, равные m и М. Все значения из отрезка [m, M] функция принимает по теореме 6. Отрезок [m, M] вырождается в точку, если f(x) = const

на отрезке [а, b]. •

Комментарии