Непрерывность элементарных функций

1. f(x) = C, (где С – постоянная) непрерывна на R, т.к. при любом x.

2. f(x) = x, непрерывна на R, т.к. при .

3. f(x) = , непрерывна на R как произведение непрерывных функций.

4. f(x) = , непрерывна на R, т.к. многочлен есть сумма непрерывных функций.

5. f(x) = , где P и Q – многочлены степени n и m соответственно, непрерывна на R кроме тех x, при которых Q обращается в нуль, как частное непрерывных функций.

6. f(x) = sin(x), f(x) = cos(x)

Пусть – произвольная точка множества R. Тогда sinx-sin. Так как , а , то , откуда следует, что функция f(x) = sin(x) – непрерывна.

Аналогично рассуждая, можно доказать непрерывность косинуса. Из непрерывностей синуса и косинуса следуют непрерывности тангенса и котангенса, учитывая что (для тангенса) и (для котангенса).

7. f(x) = arcsin(x), f(x) = arccos(x), f(x) = arctg(x), f(x) = arcctg(x) , непрерывны на своей области определения. Это следует из теоремы об обратной функции, примененной не ко всей тригонометрической функции (к примеру, sin(x)), а к ее отрезку (для sin(x) это отрезок ).

8. , где r – рациональное. Представим r = m / n, . Тогда . Функция непрерывна и строго возрастает на R. По п. 2 также непрерывна.

9. , a > 1, непрерывна на R. Пусть – произвольная точка множества R, =. Докажем, что . Пусть - произвольная последовательность вещественных чисел такая, что . В силу свойств вещественных чисел найдутся последовательности рациональных чисел и, удовлетворяющие при условию: <, откуда . Так как и , то =1. Отсюда и , ч.т.д.

10. Логарифмическая функция непрерывна, что следует из непрерывности показательной функции по теореме об обратной функции.

Комментарии