10. Линейные формы. Сопряженное (двойственное) пространство.

Определение функции. Мы будем рассматривать линейное пространство L , вещественное или комплексное. Слово "число"- комплексное для комплексного пространства и вещественное - иначе.
Определение. Будем говорить, что на линейном пространстве L задана функция f от одного вектора, если каждому вектору х принадлежащему L сопоставлено число f(x), а также, что задана функция g от двух векторов, если каждой упорядоченной паре векторов х, у из L сопоставлено число g(x,y).

Функции на бесконечномерных пространствах, элементы которых сами являются функциями, называют функционалами.
Пусть пространство L имеет размерность n. При выбранном базисе каждому вектору х из L сопоставлены n его компонент x₁, ...,x_n. При выбранном базисе функция f на линейном пространстве L задается функцией от n переменных, определенной на множестве всевозможных наборов x₁, ...,x_n. Если базис изменится, тому же вектору х будут соответствовать новые компоненты, и, следовательно, прежняя функция f будет задана новой функцией от n переменных.
Определение. Функция f на линейном пространстве L называется линейной, если для любых х и у из L и любого числа а выполнены равенства
1(x + y)=f(x)+f(y), f(ax)=af(x).
Это в точности то же самое, что линейное отображение L в одномерное арифметическое
пространство.
Функция, сопоставляющая каждому вектору число 0, линейная. Функция, сопоставляющая всем векторам одно и то же число, отличное от нуля, не линейная, так как для каждой линейной функции f (0) = 0.

Рассмотрим n-мерное линейное пространство L и выберем в нем базис e₁,...,e_n. Значение линейной функции f на векторе х может быть выражено через координаты этого вектора x₁, ...,x_n: f(х) = f(x₁e₁ +.. + x_ne_n)= x₁ f(e₁)+ ... + x_n f(e_n)
Числа f(e₁), ..., f(e_n) не зависят от вектора x, а определяются только функцией f и базисом. Мы доказали следующее Предложение. Каждая линейная функция на n-мерном линейном пространстве в произвольном базисе е задается линейным однородным многочленом x₁φ₁ ... + x_n φ_n от координат вектора в этом базисе. Коэффициенты многочлена φ₁,..., φ_n равны значениям функции на базисных векторах.
Значения функции f на векторах базиса е удобно называть компонентами или коэффициентами функции f в базисе е. Матрица линейного отображения n-мерного пространства в одномерное имеет размеры 1 х n, т. е. это — строка длины n.

Формула функции в матричном виде записывается так (2й столбец — компоненты вектора х):

.

Каждая строка по этой формуле определяет линейную функцию.
В самом деле, (x + y) = x +y и (аx) = а(x). Из формулы выражения матрицы отображения в новых базисах через его старую матрицу и матрицы перехода к новым базисам, так как в одномерном арифметическом пространстве базис фиксирован раз и навсегда, для линейной функции верно '=S .
Здесь — строка коэффициентов функции в базисе е, а ' —
строка ее коэффициентов в базисе е' = eS.

Определение. Суммой линейных функций f и g называется функция h, значение которой для любого вектора х определяется равенством h(x) = f (x) + g(x). Произведением линейной функции f на число а называется функция g, значение которой на векторе х определяется
как g(x) = af(x).
Предложение 2. Пусть f и g — линейные функции, а и — их строки коэффициентов в некотором базисе е. Тогда сумма f+g — линейная функция, и ее строка коэффициентов равна + . Для произвольного числа а произведение af — линейная функция, и ее строка коэффициентов есть а.
Докажем первую часть предложения. Вторая часть доказывается аналогично. Для произвольного вектора х значения функций записываются как f(x) = и g(x) = . Тогда значение суммы f + g на том же векторе равно + = (+)- Это показывает, что f+g — линейная функция со строкой коэффициентов .

Предложение 3. Множество L* всех линейных функций на n-мерном линейном пространстве L no отношению к введенным выше линейным операциям представляет собой n-мерное линейное пространство.
Действительно, существует взаимно однозначное отображение множества L* на множество строк длины n, причем сумме функций соответствует сумма строк, а произведению функции на число — произведение ее строки на это число. Поскольку аксиомы линейного пространства выполнены для операций со строками, они будут выполнены и для операций в L*. Следовательно, L* — линейное пространство, изоморфное пространству строк длины n.
Определение. Линейное пространство L* всех линейных функций на линейном пространстве L называется сопряженным для L.
Выберем базис е в пространстве L и рассмотрим линейные функции (i = 1, ...,n), определяемые равенствами (х) = где — i-я координата вектора х. Это означает, что

(i,j = 1,...,n)

или, иначе, строка коэффициентов функции есть i-я строка единичной матрицы. Отсюда легко следует, что функции ,..., линейно независимы. Так как пространство L* n-мерное, эти функции составляют в нем базис.
Определение. Базис ^,..., в L*, определяемый написанной выше формулой, называется биортогональным или взаимным базису e₁,...,e_n пространства L.
Строка раскладывается по строкам единичной матрицы с коэффициентами поэтому элемент f пространства L* со строкой коэффициентов ||φ₁,...,φ_n || имеет разложение f= .
Введем столбец р, составленный из функций Теперь разложение можно переписать в матричной форме: f = *p. Таким образом, строка координат элемента f из L* во взаимном базисе р совпадает с его строкой коэффициентов в исходном базисе e
пространства L.
Пространство L* — такое же линейное пространство, как и любое другое, и, следовательно, имеет сопряженное пространство L**, элементы которого — линейные функции на L*.
Предложение 4. Пространство L** может быть отождествлено с L.
Доказательство. Фиксируем определенный вектор х из L и сопоставим каждому элементу f из L* число f(x). Таким образом, х можно рассматривать как функцию на L*. Эта функция линейная. Действительно, (f + g)(x) = f (x) + g(x), и (af)(x) = af(x).

Итак, х можно отождествить с некоторым элементом L**. При этом сумма и произведение на число для векторов из L совпадают с их суммой и произведением на число, если их понимать как функции на L*. Это очевидно. Например, для суммы это равносильно равенству f(х + у) = f (x) + f(у).
Теперь мы видим, что L может быть отождествлено с подпространством в L**. Но dim L = dim L * = dim L **, и подпространство совпадает со всем пространством.

Комментарии