12

Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа.

            Определение. Квадратичной формой или квадратичной функцией на линейном пространстве  называется функция k, значение которой на любом векторе x определяется равенством k(x)=b(x,x), где b – симметричная билинейная функция.

            При приведении квадратичной формы к диагональному виду (каноническому виду) можно воспользоваться методом выделения квадратов (методом Лагранжа). Покажем его на примере. Пусть задана квадратичная форма

k(x)=

Заметив, что коэффициент при  отличен от нуля, соберем вместе все члены, содержащие :

Дополним выражение в квадратных скобках до квадрата суммы, прибавив и вычтя :

Теперь k(x)=+k'(x) - где k’ – квадратичная форма, значение которой зависит только от  и :

k'(x) =

К ней можно применить тот же прием:

k'(x) =

Итак,

k(x) =

Где

Последние формулы задают преобразование координат при переходе к базису, в котором квадратичная форма имеет диагональный вид.

Теорема инерции для квадратичных форм.

            Теорема. Число отрицательных и число положительных коэффициентов в каноническом виде квадратичной формы не зависят от базиса, в котором она приведена к каноническому виду.

            Докажем сначала, что если в каком-либо базисе форма k приведена к каноническому виду, то число коэффициентов, равных -1, равно отрицательному индексу формы k. Пусть в базисе  форма k ранга r с индексом s имеет канонический вид

Обозначим через  линейную оболочку векторов , а через  - линейную оболочку остальных базисных векторов. Для любого  имеем , и

k(x)=<0, если только . Значит, k отрицательно определена на  и .

На   форма k положительно полуопределенная, потому что  для любого  и  (Форма может равняться нулю только на ненулевом веткторе, если )

. Пусть существует подпространство  размерности , на котором k отрицательно определена. Тогда, поскольку сумма размерностей   и  больше n, эти подпространства имеют ненулевой вектор z в пересечении. Имеем , так как  и , так как . Полученное противоречие показывает, что . Число коэффициентов, равных -1, равно отрицательному индексу, и потому не зависит от базиса. Число коэффициентов, равных +1, также не зависит от базиса, так как оно равно r-s, а ранг r и индекс s от базиса не зависят. Теорема доказана.

            Следствие. Число положительных и число отрицательных коэффициентов в любом диагональном виде квадратичной формы не зависят от базиса.

Знакоопределенные квадратичные формы.

Определение. Квадратичную форму k будем называть положительно определенной на пространстве  пространства , если  для любого ненулевого вектора x из . Форма k отрицательно определена на , если  для любого  из .

Если говорят, что квадратичная форма положительно или отрицательно определена, без уточнения подпространства, то она обладает таким свойством на всем .

Квадратичные формы, для которых  или  при любом x, называются соответственно положительно или отрицательно полуопределенными.

Удобно считать, что на нулевом подпространстве каждая квадратичная форма положительно определена, и отрицательно определена одновременно. В силу этого соглашения всегда существует (хотя бы нулевое) подпространство, на котором квадратичная форма отрицательно определена.

Критерий Сильвестра.

Теорема. Для положительной определенности квадратичной формы необходимо и достаточно, чтобы миноры ее матрицы удовлетворяли неравенствам

>0   (k=1,...,n)   (13)

Миноры вида (13) называются главными минорами матрицы.

Для доказательства вспомним преобразования матрицы квадратичной формы.

1.      Необходимость. Если квадратичная форма k положительно определена, то диагональные элементы ее матрицы в любом базисе удовлетворяют условию

и, следовательно, при приведении матрицы к диагональному виду особый случай не встретится. В основном случае к любой строке может быть прибавлена только лежащая выше, а к любому столбцу – только расположенный левее. При таких преобразованиях главные миноры матрицы не меняются. Но у диагональной матрицы для положительно определенной квадратичной формы главные миноры положительны. Потому они положительны и у исходной матрицы.

2.      Достаточность. Пусть все главные миноры матрицы B положительны. В частности,

, и первый шаг преобразования приводит матрицу к виду

с . Допустим, что после k шагов мы получили матрицу  с положительными  причем не возникало особого случая. Тогда для левого верхнего элемента матрицы  имеем

  так как главные миноры не менялись. Поэтому  на очередном шаге преобразования имеет место основной случай и полученная матрица имеет положительные элементы  Рассуждая так для всех k, мы придем к доказываемому утверждению.